格子点体積

質問

格子点面積（格子点を結んでできる任意の図形の面積）の公式[ピックの定理]
Ｓ＝ｎ/２＋ｍ－１（ｎ:辺上格子点の数、ｍ:内部格子点の数）についての証明をやっていたんですが・・

これを拡張して、格子点を結んでできる任意の立体の体積の一般式を考えたいのですが、これに当たる公式はあるのでしょうか？
知っている方は教えてほしいです。

回答No.3

kabaokaba

QNo.3145388 とほとんど同じ質問ですが・・・
どこかの課題なのか，偶然なのか．

一般的な答えは No.1 さんのいうとおりで
エルハート多項式の「最高次の係数」です．
その計算方法の一つが No.2 さんの方法です．
二次元の場合でも「穴があるか」で
話が変わってきたような記憶があります．
たぶん二次元の場合だけでも，
穴の有無や個数と絡めるとかなり深い話が展開できるはずです
（大学の一般公開教養講座くらいのレベルには軽く達すると思います）．

エルハート多項式ってのは，各々の係数が何を意味するのか
数学的にもあんまりよくわかってないはずで，
今でもがしがし研究されています．
日本語の本はほとんどないくらいですしね．

QNo.3145388 に2次元のときの
エルハート多項式の導出方法を書いておきました．
これをそのまま3次元に適用すれば，
たしか3次元版になったはずです．

お礼

ありがとうございます。いってみます。

うーん、偶然ではないですね・・たぶん。同じ大学の人っすかね。（汗）

回答No.2

greenchq

今googleしてみたら、実際の公式もでてきました。参考ＵＲＬを見てください。少し和訳して解説しますね。

まず、ピックの定理もそうですが、ここでは図形に穴がないことが前提ですね。２次元の場合の公式（ピックの定理）は(3)に書いてあります。意味は次の通り。
・k=1と考えてください
・Vol(Δ)とは、図形の面積
・lΔ(k)とは、図形に含まれる格子点の数（内部と辺上の点を含む）
・S2(Δ)とは、次のように解釈されます。
もともと格子点は２次元的に分布しているが、たまたま１つの辺上に乗っているものだけを摘み取れば、１次元の格子点になります。それを新たに１次元座標系として解釈したときに、それで辺の長さを計ることができます。そのように計った長さとは、つまり、(その辺上の点の数)-1ですね（あとで一般化するためにこんな言い回しをしているだけです）。この値を全ての辺に対して足したものがS2(Δ)となります。
以上で公式(3)がピックの定理を表していることを確認してみてください。

さて、３次元の場合は公式(4)になります。
・k=1と考えてください
・Vol(Δ)とは、図形の体積
・lΔ(k)とは、図形に含まれる格子点の数（内部・面上・辺上を含む）
・S3(Δ)とは、次のように解釈されます。
もともと格子点は３次元的に分布しているが、たまたま１つの面上に乗っているものだけを摘み取れば、２次元の格子点になります。それを新たに２次元座標系として解釈したときに、それで面の面積を計ることができます（この計算は２次元ですからピックの定理が使えます）。この値を全ての面に対して足したものがS3(Δ)となります。
・a1とは、一般に計算することは難しくなります。

式(5)とは、(0,0,0),(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)を頂点とする四面体のときの例です。体積は確かに(1/6)abcになります。S3(Δ)は頑張れば理解できそうですが、かなり複雑になっています。a1の計算はDedekind sumを使っていて、もう立ち入りたくない感じがします。尚、私はこの式(5)を読んで、ちょっと間違っているのではないかという疑いを持ちました…。

まぁ、一言でまとめると、けっこう難しいということですね。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/EhrhartPolynomial.html

お礼

ありがとうございます。
S2(Δ)は結局辺上点の総数になりますね。

三次元はかなりキツイですね・・・
S3(Δ)はただ辺上点などの個数で一般化へアプローチはできないっぽいですね。
辺上点でも種類をわけなきゃいけなくなる気が・・
ａ1にいたっては、もうよくわからないというのが本音です。（°°;）

非常に参考になりました。

回答No.1

greenchq

一般化はできますが、２次元のようなきれいな形にはならないみたいです。少し難しいですが、Ehrhart多項式で調べてみてください。
参考ＵＲＬはWikipedia（英語版）の解説です。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Ehrhart_polynomial