フェルマーの大定理 n=3の場合の証明

質問

フェルマーの大定理・n = 3の場合の証明について質問です。

オイラーはx^3 + y^3 = z^3をx = a + b、y = a - bとおき、整理することによって、
z^3 = 2a(a^2 + 3b^2)
と変形し、n = 3の場合のフェルマーの大定理を証明しました。

そこで、質問です。
【2a】と【a^2 + 3b^2】が、互いに素な場合は無限降下法をつかって証明できるようですが、
【2a】と【a^2 + 3b^2】が、互いに素ではなく、1以外の公約数を持つ場合、どのようにして証明すればよいのでしょうか？

皆様のご教授をお待ちしております。

回答No.2

graphaffine

DC1394様、#1のものです。補足に回答します。まず、私が参考とした文献は次のものです。

「２次体の整数論」　武隈良一　著、槙書店　発行

>>そもそもｎ＝３の場合は初等的な代数学の知識があれば解決できます
>それはしりませんでした。是非ご教授をお願いいたします。

基本的な方針のみ述べます。さすがに、詳細を書くとここに書ける分量を超えてしまいます。（大体５ページぐらい有ります。

x^3 + y^3 = z^3において、ｚを-zで置き換えることにより、x^3 + y^3 + z^3　=　0を考え、これがR(√(-3))で整数解を持たないことを示す。

R(√(-3))は実数体Rに-3の平方根を付加した２次体です。R(√(-3))における整数は、Rにおける整数（所謂通常の整数で、代数的整数と区別して有理整数と言います）を全て含みますので、R(√(-3))で整数解が存在しなければ有理整数解が存在しないことが言えます。

上記文献では、n=4のときの解が存在しないことも示しています。この場合は、R(i)（実数体Rに虚数単位iを付加した２次体、所謂ガウスの数体）を用いています。

上記文献には、Fermat予想に関して下記のような記述もあります。
「n=3の場合についてオイラーがその証明を1770年に発表した。しかし、その証明には不十分なところがあり、ルジャンドルが改めて1798年に証明した」
このことからすると、オイラーが証明したと言うのは間違いのようですね。

なお、参考文献は４０年近く前の発行なので現在入手することは難しいかもしれません。が、２次体を取り上げた本を探せば、その中にn=3や4の場合の証明がでているものもあると思います。勿論、大学レベルの数学知識が無いと読みこなせないですが。

お礼

ありがとうございました。無限降下法を使わない証明も十分可能なのですね。
勉強になりました。また文献を探してみます。

ところで、n=3の場合において、
オイラーはa^2 + 3b^2 = (a + √3i)(a - √3i)と複素数を用いて因数分解したのですが、
複素数の世界では、素因数分解の一意性が成立しない
（クンマーの理想数の概念を使えば別ですが）ので、
これは証明としては不十分であった、と私が参考にした本にも書かれています。
もっとも、n=3の場合はたまたま問題にならなかったようです。

補足

a^2 + 3b^2 = (a + √3i)(a - √3i)ではなく、
a^2 + 3b^2 = (a + √3bi)(a - √3bi)でした。申し訳ございません。

回答No.1

graphaffine

>x^3 + y^3 = z^3をx = a + b、y = a - bとおき

本当にこのようにおけるのですか。

それから、無限降下法とはどのような方法でしょうか。そもそもｎ＝３の場合は初等的な代数学の知識があれば解決できますので、無限降下法というような一般的でないものは使う必要がないでしょう。

補足

ご回答ありがとうございます。
「図解雑学 数論とフェルマーの最終定理」(ナツメ社)という本に、
オイラーによるフェルマーの大定理(n = 3)証明の概略が述べてあります。

その本に、x = a + b、y = a - bと変形可能なことが証明されています。
また、無限降下法とは一種の背理法です。
詳しいことは、前述した「数論とフェルマーの最終定理」に著されています。

>そもそもｎ＝３の場合は初等的な代数学の知識があれば解決できます
それはしりませんでした。是非ご教授をお願いいたします。