Σ計算について

質問

多分、簡単だと思いますが
(1+x+x~2+x~3+…)(1+x+x^2+x^3+…)=1+2x+3x^2+…+(n+1)x^n+…
をどのように証明するのか教えてください。

回答No.3

noname#108210

(左辺)=f(x)=1/(1-x)^2
f(x)をマクローリン展開すれば右辺が得られる。

お礼

(d^n/dx^n)f(x)=(n+1)!/(1-x)^(n+2) から(d^n/dx^n)f(0)=(n+1)! となるのでマクローリン展開によって証明できました。ありがとうございます。

回答No.2

alice_44

左辺の ( ) 内は、等比級数の公式を
当てはめるだけ。
右辺は、等比級数の公式の両辺を微分すれば、
計算できる。
ただし、それには、
ベキ級数は収束円内で項別微分可能
であることに言及する必要がある。
収束円内 → 一様収束
→ 項別に極限をとってよい
→ 項別に微分してよい

補足

x+x^2+x^3+…=x/(1-x) の両辺を微分して
1+2x+3x^2…=1/(1-x)~2 とするところに気がつかなかった。
すっきりしました。ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
一見「？」という感じですが、冷静に考えると非常にやさしい問題であることがわかります。

まずは、具体的にいくつか考えてみましょう。
1) 定数項
左辺について、（定数項）×（定数項）からしか、定数項は現れないので 1
2) xの 1次
左辺について、（定数項）×（xの項）と（xの項）×（定数項）が xの項となるので、係数は 2
3) xの 2次
・・・

としていったときに、「xの n次（x^n）」はどのような組合せとして表されますか？
もう少しいえば、それらの中に x^(n+1)や x^(n+3)といった項は現れますか？

考える項を「絞り込む」ことができれば、（x^kの項）に「対応する」項が決まってきます。
あとは、係数を考えることを示すことができます。

補足

丁寧な説明ありがとうございます。でも、Σ記号や 1/(1-x) の級数展開を使って理論的に証明したいのですが…。ちなみに|x|<1 とします。