偏導関数の計算

質問

ｘ∂ｆ/∂ｘ＋ｙ∂ｆ/∂ｙ＝nfを満たすならｆ（ｘ、ｙ）＝ΣB（ｋ）ｘ＾(n-k)・y^(k)とあらわせる事を証明しなくちゃいけないんですが、手も足もでないです・・。

回答No.4

keyguy · ベストアンサー

抜けてる条件といえばｆ（ｘ、ｙ）が多項式関数であり、n≧０ってことです。:

こんな重要な条件を抜かしていたのでは回答するのは大変です。
何しろ一般解はg(x,y)を任意の関数としてg(f/x^n,y/x)=0ですから。

その条件だと
f(x,y)=Σ(0≦k,m<∞)・A(k,m)・x^k・y^m
とおけるのでこれを微分方程式に代入して両辺の係数比較をしてA(k,m)の満たすべき条件を決めれば良いでしょう。
微分方程式の左辺の2項とも次数降下がないので比較はたやすいと思います。

お礼

すいませんでした。そして有難うございます。

回答No.3

keyguy

一部符号を間違えていました。
前後の文脈から分かると思いますが修正します。
他にもあるかもしれませんが後は自分で修正してください。

x・∂f/∂x+y・∂f/∂y=n・f
の一般解はもっと複雑で
g(x,y)を任意の関数としてg(f/x^n,y/x)=0です。

実際g(f/x^n,y/x)=0をxで微分すると
gx(f/x^n,y/x)・(x・fx-n・f)/x^(n+1)-gy(f/x^n,y/x)・y/x^2=0
またg(f/x^n,y/x)=0をyで微分すると
gx(f/x^n,y/x)・fy/x^n+gy(f/x^n,y/x)/x=0
行列の理論によりgx(f/x^n,y/x)とgy(f/x^n,y/x)が同時に0でないならば行列
[(x・fx-n・f)/x^(n+1)　-y/x^2]
[fy/x^n　1/x]
の行列式が0になるから微分方程式を満たす。

従ってf(x,y)に何らかの条件が抜けているようです。
例えば
f(x,y)=Σ(-∞<k,m<∞)・A(k,m)・x^k・y^m
と言う形をしているとか
だとすれば左辺の各項の次数降下がないので両辺の同次数項の係数比較をすれば証明は明白。
または左辺-右辺=0の形にしてその左辺の各項が0でなければならないということを使っても良い。

いつも思うのですが質問するときには与えられている条件をすべて書きましょう。

回答No.2

keyguy

x・∂f/∂x+y・∂f/∂y=n・f
の一般解はもっと複雑で
g(x,y)を任意の関数としてg(f/x^n,y/x)=0です。

実際g(f/x^n,y/x)=0をxで微分すると
gx(f/x^n,y/x)・(x・fx-n・f)/x^(n+1)-gy(f/x^n,y/x)・y/x^2=0
またg(f/x^n,y/x)=0をyで微分すると
gx(f/x^n,y/x)・fy/x^n-gy(f/x^n,y/x)/x=0
行列の理論によりgx(f/x^n,y/x)とgy(f/x^n,y/x)が同時に0でないならば行列
[(x・fx-n・f)/x^(n+1)　-y/x^2]
[fy/x^n　-1/x]
の行列式が0になるから微分方程式を満たす。

従ってf(x,y)に何らかの条件が抜けているようです。
例えば
f(x,y)=Σ(-∞<k,m<∞)・A(k,m)・x^k・y^m
と言う形をしているとか
だとすれば左辺の各項の次数降下がないので両辺の同次数項の係数比較をすれば証明は明白。
または左辺-右辺=0の形にしてその左辺の各項が0でなければならないということを使っても良い。

いつも思うのですが質問するときには与えられている条件をすべて書きましょう。

補足

抜けてる条件といえばｆ（ｘ、ｙ）が多項式関数であり、n≧０ってことです。これで考えてるんですが、どうしても逆の証明になってしまいます。いつも丁寧な解説有難うございます。もうちょっと自分で考えてみます。ｗ

回答No.1

KENZOU

与式の偏微分方程式をまともに解いていくのはそれこそ大変ですから、逆に攻めて行く、、、(汗；）。つまりf(x,y)＝ΣB(k)x^(n-k)・y^としてこれがx∂f/∂x＋y∂f/∂y＝nf
を満たすというやり方。これではだめでしょうか？とりあえず以下に計算しておきます。

　∂f/∂x＝Σ(n-k)B(k)x^(n-k-1)・y^k　　(1)
　∂f/∂y＝Σk・B(k)x^(n-k)・y^(k-1)　　(2)
従って
　x∂f/∂x＝Σ(n-k)B(k)x^(n-k)・y^k　　(3)
　y∂f/∂y＝ΣkB(k)x^(n-k)・y^(k)　　(4)
(3)＋(4)より
　x∂f/∂x＋y∂f/∂y＝Σ{(n-k)B(k)＋kB(k)}x^(n-k)・y^k
　　　　　　　　　　＝nΣB(k)x^(n-k)・y^k
　　　　　　　　　　＝nf　　(5)

お礼

それが最初の問題でした（汗）ｗ