至急！空間ベクトル（高校数学）

質問

以下の問題です。
（1）はなんとかクリアでしょうか？
　｜AP→｜＝2√（4p＾2ー2p＋1）、｜AQ→｜＝2√（4q＋1）
　 AP→・AQ→＝16pqー4q
（２）なのですが、CR→＝kCG→（0≦k≦1）として、AR→を表し、
AR→＝sAQ→＋tAP→として、たがいに一次独立として係数比較で、
s＝1/2,t＝1/2でp＋q＝k（0≦k≦1）よって0≦p＋q≦1
でよいのでしょうか？あまりにも単純な気も…？
ちなみに、それを使うと、
（3）平行だから、APRQの面積＝２×三角形APQで
　S＝4√（4p＾2＋3q＾2ー2p＋1）
これは、単に2倍してもよいのでしょうか？
（4）√の中を2次関数のように変形して、
　最大値8、最小値8√21/7
となりました。 　　
とくに、（2）（3）の考え方があいまいなので、
ご指導、お願いいたします。

平行六面体ABCD-EFGHは｜AB→｜＝｜AD→｜＝1,｜AE→｜＝2,
｜BP→｜＝2p,｜DQ→｜＝2q（0≦p≦1,0≦q≦1）,
＜FBC＝＜BCD＝π/2,＜EAB＝2π/3である。
（1）｜AP→｜,｜AQ→｜,AP→・AQ→をp,qを用いて表せ。
（2）3点A,P,Qを通る平面と辺CG の交点をRとする。
　　Rが存在するためのp,qの条件を求めよ。
（3）（2）のとき、四角形APRQの面積をSとする。
　　　Sをp,qを用いて表せ。
（4）R＝Gのとき、Sの最大値と最小値を求めよ。

回答No.7

info22_ · ベストアンサー

#1-#6です。

#6の補足質問の回答

>ところで、内積AP→・AQ→についてですが、
A#2で
>正解：｜AP→｜＝√(4p^2-2p＋1）
は間違いで、
正解：｜AP→｜＝√(4p^2-p＋1）
と訂正します。

質問の内積について
>AP→・AQ→＝(AB→＋pAE→)・(AD→＋qAE→)
>　　　　　＝AB→・AD→＋AB→・qAE→＋pAE→・AD→＋pAE→・qAE→
>　　　　　＝4pq-q
>どこが間違っているのでしょうか？
合っていますね。

A#2で回答した内積の計算は
>正解：AP→・AQ→＝4pq-q-1
の方の間違いでした。
改めて
正解：AP→・AQ→＝4pq-q
と訂正します。

お礼

回答ありがとうございます。
何度も何度も答えてくださり、本当にありがとうございました。
まだまだ勉強不足を実感します。
頑張ります。
またお世話になることもあるかもしれませんが、
どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.6

info22_

#1-#5です。

A#5の補足質問について

>（2）で0≦p+q≦1ではなく、0≦を外すのはなぜですか？

>> 0≦p≦1,0≦q≦1,p+q≦1
問題の条件として与えられた前の2つの不等式の　0≦p,0≦qが
0≦p+qであるための充分条件になっているので、書いても冗長になるだけです（余分、無駄）。
もし、1/2≦p+q≦1のような場合は、この場合の「1/2≦」は冗長ではないので省いたら×になります。

>p=0、q＝0でR＝Cの場合は、あり得ないのでしょうか？
>> 0≦p≦1,0≦q≦1,p+q≦1
この条件は　p=q=0を含んでいることがお分かりではないですか？
なのでR=Cはあり得るじゃないですか？

補足

回答、ありがとうございます。
ようやく理解できました。

ところで、内積AP→・AQ→についてですが、
AP→・AQ→＝(AB→＋pAE→)・(AD→＋qAE→)
　　　　　＝AB→・AD→＋AB→・qAE→＋pAE→・AD→＋pAE→・qAE→
　　　　　＝4pqーq
となりました。
どこが間違っているのでしょうか？
お手数ですが、よろしくお願いいたします。

回答No.5

info22_

#2-#4です。
A#2の補足の質問回答
(1)
>AB→・AD→＝AD→・AE→＝0、AB→・AE→＝-1となりますよね？
その通り。

>｜AP→｜＝2√・・
となったのです。

p=0とすれば　｜AP→｜＝2√・・=2≠|AB→|=1
明らかな間違いなのにお気づきなりませんか？
この時は｜AP→｜＝|AB→| =1 となるはず。

>比なので、FP:PB＝(1－p):pとおいたほうが正しいのでしょうか？
どちらにおいてもどちらも間違いではありません。他の所でミスしているようです。

導出過程を省略しないで書いて貰えればミスの箇所が見つかると思います。

補足

回答、ありがとうございます。
なるほど…確かに｜AB→｜＝1ではなくなってしまいますね。
確認してみて、自分の間違いに気づくことは大切ですよね。
もう一度、計算しなおしてみます。

ところで、（2）で0≦p+q≦1ではなく、0≦を外すのはなぜですか？
P=0、Q＝0でR＝Cの場合は、あり得ないのでしょうか？

回答No.4

info22_

A#3でSの最小値を補足したつもり
でS(max)とミスったので訂正。
誤：p=1,q=0でS(max)=√3
A#3は無視（削除）してください。

(4)
正：p=1,q=0でS(min)=√3

回答No.3

info22_

#2です。

(4)の追加です。
p=1,q=0でS(max)=√3

回答No.2

info22_

(1)
>｜AP→｜＝2√(4p^2-2p＋1）
惜しい。
正解：｜AP→｜＝√(4p^2-2p＋1）

>｜AQ→｜＝2√(4q＋1）
×
正解：｜AQ→｜＝√(1+4q^2）

> AP→・AQ→＝16pq-4q
×
正解：AP→・AQ→＝4pq-q-1

(2)
0≦p≦1,0≦q≦1,p+q≦1

(3)
S=√(4p^2+7q^2+8pq-2p-2q+1)

(4)
q=1-p(0≦p≦1)をSの式に代入
S=(√3)√{(p-1)^2+1}
0≦p≦1なのでp=0,q=1でS(max)=√6

補足

回答、ありがとうございます。
質問なのですが・・・・
AB→・AD→＝AD→・AE→＝0、AB→・AE→＝-1となりますよね？
FP:PB=（2-2p）:2pとおいて計算したので、｜AP→｜＝2√・・
となったのです。同様に、DQ:QH＝2q:（2－2q）
とおいてしまいました。（計算間違いしていますが。汗）
比なので、FP:PB＝（1－p）:pとおいたほうが正しいのでしょうか？
すごく根本的なのですが、大きさの答えが変わってくるので、
焦っています。

回答No.1

noname#105123

P,Qがどの線上にあるか書かれてないですか？

補足

すみません、書き落としました。
Ｐは辺ＢＦ上、Ｑは辺ＤＨ上です。
図が載せられなかったので、見にくいですが、なんとか示してみます。
角度があるので、普通の長方形の立方体を斜めにした感じです。
ＡＥ、ＢＦを結んで、奥にＤＨ，ＣＧというような六面体です。

　　　　　　　　Ｈ＿＿＿＿＿＿Ｇ

　　　　　Ｅ＿＿＿＿＿＿Ｆ

　　　　　　　　　　　Ｄ＿＿＿＿＿＿Ｃ

　　　　　　　　Ａ＿＿＿＿＿＿Ｂ