平面ベクトル

質問

２点A(４,０),B(０,２)と円x^2+y^2=25の上の点P(ｘ,ｙ)の対し、k=→AP・→BPとおく。
(１)Kの最大値と最小値を求めよ。
(２)Kが最大、最小となるときのPの位置をそれぞれC、Dとするとき、線分CDの長さと、四角形ACBDの面積を求めよ。

k=→AP・→BPをどのように利用すればいいのかわからず、(１)からつまずいています。変形して、円との共有点を求めればいいのだとは思いますが、その辺がいまいちわからないんです。
質問がわかりにくかったらごめんなさい。
やり方を詳しく教えていただけると嬉しいです。
お願いします！

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

A(4,0),B(0,2)
k=↑AP・↑BP
P(x,y)=(5cosT,5sinT)と置くと、

↑AP=(　(5cosT-4),　(5sinT)　)
↑BP=(　(5cosT)　,　(5sinT)-2)

k=↑AP・↑BP
=(5cosT-4)(5cosT)+(5sinT)(5sinT)-2)
=25{(cosT)^2}-20(cosT)+25{(sinT)^2}-10(sinT)
=25-10{(sinT)+2(cosT)}
=25-10√5{sin(T+A)}
　　　cosA=(1/√5),sinA=(2/√5)

　　Tmin+A=９０度のとき、Min 25-10√5
　　Tmax+A=ー９０度のとき、Max 25+10√5

Tmin-Tmax=１８０度。
　　CDは直径で、CD=10。

5cos(Tmin)=5cos(90度-A)=5sinA=(2√5)
5sin(Tmin)=5sin(90度-A)=5cosA=(√5)

　　　C(-2√5,-√5)
　　　D( 2√5, √5)
(四角形ACBDの面積)=S
tan(Tmin)=(1/2)
線分CDの式は、
　　　y=(1/2)x　→　x-2y=0
線分CDとC(-2√5,-√5)の距離は、
｜-2√5+√5|/√5=1
線分CDとA(2√5,√5)の距離も、
｜2√5-√5|/√5=1

　S=2*(1/2)*10*1=10

回答No.3

nettiw

訂正。

線分CDの式は、x-2y=0
線分CDとA(4,0)の距離は、
｜4 |/√5=(4/√5)
線分CDとB(0,2)の距離は、
|-4|/√5|=(4/√5)
S=2*(1/2)*10*(4/√5)=8√5

回答No.1

info22

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ヒント）
(1)
k=(x-4,y-0)・(x-0,y-2)=x(x-4)+y(y-2)
=x^2+y^2-(4x+2y)=25-(4x+2y)
であるから
4x+2y=25-k
ここから
y=(25-k-4x)/2 …(**)
このyを円の式に代入した
xの方程式(*)におけるxの判別式≧0から
kの最大値、最小値が出てきます（判別式=0の時のk）。

(2)
(1)のkに対する(x,y)を(*)と(**)から求めて下さい。
C,Dが求まりますので
CDの長さや四角形ACBDの面積は求まるでしょう。

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