下図の図形から点線のような軌跡線を求めたいのですが、困っています。

質問

下図の図形から点線のような軌跡線を求めたいのですが、困っています。
どなたか、ご教示ください。

三角形の頂点を半径Rの円で丸めた形状です。
半径Rは定数です。
このとき、右辺、左辺、円弧を含めた長さAは定数とします。
また、底辺の長さBも定数とします。
イメージとしては底辺の両端点を固定した糸を半径Rの丸棒で引っ張っている状態です。
この時の円の点Pの描く軌跡線を求めたいのです。
xを変数とし、
xの範囲をx=R:x=B-Rとしたとき
yの高さ
を求めればよいのではと考えています。

できれば、安物の関数電卓で叩けるレベルの計算式にしていただけると助かります。

よろしく、お願いします。

回答No.1

noname#152421 · ベストアンサー

計算してみました。

Ｏ= 下辺の左端
Ｂ= 下辺の右端
Ｒ= 動かす丸棒の円を固定したときの中心
Ｐ= 丸棒と糸とが接しているところと離れているところの境目2点のうちのＯに近いほうの点
Ｑ= 丸棒と糸とが接しているところと離れているところの境目2点のうちのＢに近いほうの点
R= 丸棒の円の半径
θ= ∠ＲＯＢ
φ= ∠ＯＢＲ
α= ∠ＯＲＢ
β= ∠ＯＲＰ
γ= ∠ＢＲＱ
δ= ∠ＰＲＱ
u= ＢＱの長さ
v= ＯＰの長さ
s= ＯＲの長さ
t= ＢＲの長さ

とすると、これらは以下を満たします：

R^2+v^2=t^2
R^2+u^2=s^2
t*sinθ=s*sinφ
t*cosθ+s*cosφ=B
θ+φ+α=π
α+β+γ+δ=2π
u+v+Rδ=A

これを整理するとθとtの間の関係式が得られます：

A=\sqrt{B^2-2Bt\cos{\theta} +t^2-R^2}+\sqrt{t^2-R^2}+2\pi{}R-R\arccos{\frac{t-B\cos{\theta}}{\sqrt{B^2-2Bt\cos{\theta}+t^2}}}-R\arctan{\frac{\sqrt{t^2-R-2}}{R}}-R\arctan{\frac{\sqrt{B^2-2Bt\cos{\theta}+t^2-R^2}}{R}}
（画像の下に見やすい形で書きましたので参照ください）

tはθの関数と見ることができますが、代数的にきれいに解くのは無理です。
したがって、数値解析を試みました。

方針としては、

（※1）θで微分して、θの初期値（arctan(1/((A+B)/(2R)-1)))から0.01(rad)間隔でθを増加させてtの値を近似的に計算したのをつなぎ合わせていきました。

また、このtは丸棒の中心までの距離なので、これを補正する必要があります。
θの差が0.01の隣同士の点を中心にもつ時間がずれた2箇所の丸棒の共通接線で近似することを考えます。接点の組の極限（θの差を0にする）を取ると以下の数の組（点）がでます：

ξ=R*(sinθ+t*(dθ/dt)*cosθ)/sqrt(1+t^2)+t*cosθ
η=R*(cosθ+t*(dθ/dt)*sinθ)/sqrt(1+t^2)+t*sinθ

電卓では厳しいので、（※1）の方針に基づいてExcelにデータを入れて計算を実行しました。ここでは仮の数値として、A=1000、B=200、R=1、刻み?θ=0.01としてあります。その結果をプロットしたグラフを同じ画像の上半分のところに入れておきました。

これが多分Shigezo11 さんが期待されているものかな？と思ったのですが、違っていたらごめんなさい。