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位相 可算集合
Aを可算集合とする。このとき、次の条件（１）（２）（３）を満たすAの 部分集合族｛A_ｎ｜ｎ∈N｝（Nは自然数とする）が存在することを証 明せよ。 （１）すべてのｎ∈NについてA_ｎは可算集合である。 （２）A=∪_ｎ∈N（A_n） （３）ｎ≠ｎ'⇒A_ｎ∩A_ｎ'＝Φ よくわかりません！！ ｆ：Ｎ×Ｎ→Ｎ の全単射とする。 Ａ_n＝｛ｆ(n,m)｜ｍ∈Ｎ｝とすればよい。 と使えばいい思っているんですが、どのようにしたら いいかわかりません！この先の解答を教えてください！！ 経過もお願いします！！
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- muturajcp
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Aを無限可算集合とすると無限可算の定義より τ:N→A,全単射となるτが存在する g:N×N→N , g(n,m)=(n+m-1)(n+m-2)/2+n とすると k∈N に対して j(j-1)/2<k≦j(j+1)/2 となる j がある n=k-j(j-1)/2 , m=j-n+1とすると 1≦n≦j , 1≦m k=j(j-1)/2+n=(n+m-1)(n+m-2)/2+n=g(n,m) →g全射 g(j,k)=g(n,m) とする →(j+k-n-m+1)(j+k+n+m-2)=2(n+k-1)→ n+m<j+k+1→n+m≦j+k →(n+m-j-k+1)(n+m+j+k-2)=2(j+m-1)→ j+k<n+m+1→j+k≦n+m → j+k=n+m →(n+m-j-k)(j+k+n+m-3)=2(j-n) → n=j , k=m → gは単射 →g全単射 g:N×N→N 全単射と τ:N→A 全単射の合成写像 f=τg:N×N→A は全単射となる n∈N に対して A_n={f(n,m)|m∈N} とする (1)h|N→A_n,(m∈N→h(m)=f(n,m)) とすると a∈A_n に対して a=f(n,m)=h(m) となる m があり → hは全射 fが単射だから h(j)=h(k) → f(n,j)=f(n,k) → j=k → hは単射 →hは全単射→A_nは無限可算 (2)fが全射だから 任意のa∈A に対して a=f(n,m)∈A_n となる n,m がある → A=∪_{n∈N}A_n (3) A_n∩A_{n'}≠φ とすると a∈A_n∩A_k があり, a=f(n,m)=f(n',j) となる m,j がある fは単射だから n=n' なお A_n={τ(n)} とすると A_nの濃度が |A_n|=1 有限となり A_n は 無限可算でないから (1) が成立しない 可算の定義に有限を含めた場合 τ:N→A,単射となるτ が存在しないから (3)が成立しない f:N×N→N 全単射 とすると f(n,m)∈N≠A となるから A_n={f(n,m)|m∈N} とか f({n}×N)=A_n としても A_n⊂N≠A だから (2)が成立しない
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
自分で手を動かせばわかる 「エラトステネスの篩」そのものを 知ってるのかわからないけど． 1,2,4,6,8,10,... 3,9,15,21,27,.... 5,25,35,50,55,65,... 7,49,77,91,..... 11,121,.... 素数は可算無限個あるからこれでOK ベースには自然数が必ず素因数分解されることがあり 素因数分解ででてくる最小の素数に対応するグループに その自然数が収まるようにグループ分けしてる レポートか何かの問題かもしれないので きちんとした記述はしない．
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
この問題が「エラトステネスの篩」の一般化と みなせることに気がつけば答えはすぐでしょ？ まさか「エラトステネスの篩」を知らないってことはない？ 本質的に「解答」ってのが使ってる全単射を 具体的に書き出せば具体的に一例を構築できる．
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
>そこでｆ（｛ｎ｝×N）＝A_nとおけばいい それだと A_n ⊂ N ですね。いいわけがない。
補足
ｆ：Ｎ×Ｎ→A 全単射fが存在する。 そこで、 A_n = {A(n)}とすれば （１）（２）（３）の条件を満たすから成り立つ。 こんな感じの解答でいいでしょうか？？ 間違いと少し変でしたら修正をお願いします。
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
>問題を解いてもらえませんか？？ 解いたつもりで回答したので、この補足には少なからずショックを受けました。 >助けてください！！！ 無理です。どこがわからないか、もっと詳しく補足すれば、もしかしたら回答できるかもしれません。
補足
Ｎ×Ｎは可算であるから ｆ：Ｎ×Ｎ→Ｎ の全単射とする そこでｆ（｛ｎ｝×N）＝A_nとおけばいい と教科書の解答に書いてありました。 本当にこれだけでいいのかと 論理な解答はないのかとおもい 質問しました！！
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
>Ａ_n＝｛ｆ(n,m)｜ｍ∈Ｎ｝とすればよい。 >と使えばいい思っているんですが Ａが何処にも出てこないから明らかに違いますよね。 全単射 τ:N -> A をもって A_n = {τ(n)}とすればいいだけのような気がしますけど。
補足
すみません！ あまりよくわからないので 問題を解いてもらえませんか？？ お願いします！ 私の頭では理解できないので詳しくお願いします！！ 助けてください！！！
補足
「エラトステネスの篩」?????????????????????? どんな感じですればいいのですか？？ あのやり方はよく理解できなくて 馬鹿な私でも分かりやすい解答をお願いはできないでしょうか？？