不定積分の問題です。

質問

写真の☆印の問題です。

Ｘ＋１＝tとおいて解こうと思いましたが、なぜか答えが合いません。

ちなみに正しい答えは(X^2＋1)ｅ^x＋1です。

私が解くと、（x＋1）^2ｅ^x＋1になってしまいます…

なぜ正しい答えのようになるのか教えてください、おねがいします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

x+1=tと置いて部分積分を２回行うと
I=∫(t^2)e^tdt=(t^2)e^t-∫2te^tdt
=(t^2)e^t-2te^t+∫2e^tdt
=(t^2)e^t-2te^t+2e^t+C
={t^2-2t+2}e^t+C
={(t-1)^2+1}e^t+C
=(x^2+1)e^(x+1)+C

お礼

とても解りやすく問題解決できました。＾＾
ありがとうございます。

回答No.3

Tacosan

「どう計算したら正しい答えになるのか」というのも重要だけど, 「あなたの計算でどこがおかしいのか」も重要だと思いますよ.

お礼

回答ありがとうございます。
もっともな意見だと思います！
次回からは私の途中計算と照らし合わせて、どこがおかしいのかを理解できるようにしたいです！

回答No.1

info22_

１つの解法

{(x+1)^2}e^(x+1)
=(x^2+2x+1)e^(x+1)…(1)

{(x^2+ax+b)e^(x+1)}'={(2x+a)+x^2+ax+b)}e^(x+1)
={x^2+(a+2)x+a+b}e^(x+1) …(2)

(1),(2)を恒等的に等しいと置くと
a+2=2,a+b=1 ∴a=0,b=1
∴{(x^2+1)e^(x+1)}'={(x+1)^2}e^(x+1)
よって
∫{(x+1)^2}e^(x+1)dx=(x^2+1)e^(x+1)+C

お礼

計算式もとてもわかりやすく助かりました。
ありがとうございます。＾＾