偏微分の問題

質問

次の問題がわかりません。

Z=tan^-1(y/x)

Zx=-y/x・1/1+(y/x)=-y/x^2(1+y^2/x^2)=-y/x^2+y^2
Zy=1/x・1/1+(y/x)^2=x/x^2・1/1+y^2/x^2=x/x^2(1+y^2/x^2)
=x/x^2+y^2

最初から説明していただけるとありがたいのですが…

回答No.1

okormazd

最後の式で()が抜けてるね。

Zx=∂Z/∂x
u=y/xとすると、
Z=tan^-1(y/x)=tan^-1(u)
で、
u=tan(Z)
だから、
∂u/∂x=sec^2(Z)・∂Z/∂x
Zx=∂Z/∂x=1/sec^2(Z)・∂u/∂x=1/sec^2(Z)・(-y/x^2)
=1/(1+tan^2(Z))・(-y/x^2)=1/(1+u^2)・(-y/x^2)
=1/(1+(y/x)^2)・(-y/x^2)=-y/(x^2+y^2)

Zyも同様。