逆三角関数のｎ回微分

質問

ArcsinX ArccosX ArctanX
のｎ回微分の求め方が分かりません。
どうか教えてください。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

Ag-mp さんのご回答：
ミスタイプか，あるいはケアレスミスかと思いますが
(1)　　(d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね．

ライプニッツの定理は，積の微分の一般公式で，
(2)　　(fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
　　　　　　　　　+ ・・・+ f g^(n)
ですから，yumomonori さんのように ｆ＝arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません．
なお，C(n,2) などは二項係数です．

(3)　　(d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから，積の微分ではなくて，合成関数の微分と見なすべき問題です．
つまり，
(4)　　f(x) = 1/√(1-x) = (1-x)^(-1/2)
(5)　　g(x) = x^2
として
(6)　　h(x) = f(g(x))
の高階導関数を求める問題になります．

この種の問題はなかなか面倒で，
見通しよく扱うには Bell の多項式と呼ばれるものを使う方法が一般的ですが，
なかなかきれいな形にはまとめられないことがほとんどです．

質問の arcsin，arccos についてはたくさんの項の和，
という形にしかならないようです．

arctan については，岩波の数学公式集に
(7)　　(d/dx)^n arctan(x)
　　　　= (n-1)! {cos^n (arctan(x))} sin{n[arctan(x) + (π/2)]}
という恐ろしげな式が載っています．
どうやって導いたのか，すぐには見えません．
まあ，よくこんな式求めましたよね．

というわけで，簡単に求められる話ではありません．
(7)はこの式がわかっていれば，帰納法で証明できそうではあります．

お礼

なるほど、詳しい説明ありがとうございます。
ある問題を解こうとしてｎ回微分を使うのかなと思い、ここに質問したのですが、どうも、違うようですね。こんなに、ｎ回微分がめんどうと言う話なら。

回答No.3

oshiete_goo

＃１さんのご回答に一部タイプミスがあるようなので，補足すると
d(ArctanX)/dx＝1/(1＋X^2)
です．

また
(d^n／dx^n)ArctanX
＝(n-1)!・cos^n(ArctanX)・sin(n・ArctanX＋nπ/2)
です．

数学的帰納法等で証明するのは質問者さんの宿題ですね．

お礼

どうもありがとうございます。
帰納法か～やってみるかな～

回答No.2

yumomonori

回答にはなってないかもしれませんが・・・。ライプニッツの定理でｆ＝arcsinＸ、ｇ＝1として公式にあてはめてみるのはどうでしょうか。あとは帰納法を使うとか。もっとうまい方法があるかもしれませんが・・・。

お礼

ライプニッの定理は知らないんで、帰納法で試してみようかと思います。。。
う～んでも、いまいち解からない・・・

回答No.1

noname#7693

とりあえず１回微分だけでも…

(y=arcsinx)
darcsinx/dx=dy/dx=1/(dx/dy)=1/(dsiny/dy)
=1/cosy=1/√(1-x^2)
(cosy＝±√(1-(siny)^2),-π/2≦y≦π/2→cosy≧0)

同じようにしてやると
arccosxの微分は-1/√(1-x^2)
arctanxの微分は1/(1-x^2)

ここまでだったら自信ありですがｎ回は分からないです。
でも出た数字をずっと微分していけば良いのでは？
でもそれだとｎ回にはならないですね…
う～ん…

お礼

そうなんですよね。。。１回はできるんですよ、
でも、ｎ回となると・・なにか公式めいたものがあるんでしょうかね。