電界における荷電粒子の運動エネルギー

質問

空間的に一様な電場が発生している。その電場をEとする。そのような空間に、電荷ｑ、質量ｍをもつ荷電粒子を置いた。

ｘ＝aの地点に荷電粒子を静かにおいて手を離す。
この粒子がｘ＝ｂの地点に到達したときにもっている運動エネルギーをもとめよ。
ただしニュートンの運動方程式をつかって計算せよ。

という問題なのですが計算過程などわかるように書いていただけるとありがたいです。

回答No.1

SKJAXN · ベストアンサー

見辛くて申し訳ありませんが、テキスト入力のため物理量Xの1次微分の表記を(dX/dt)、2次微分の表記を(d2X/dt2)、定積分の表記を{a→b}∫Xdtとさせていただきます。

荷電粒子の運動方程式は、時刻をtとすると、
m*(d2x/dt2)＝q*E →「1」

速度をvとして式「1」の左辺を変形すると、
m*(d2x/dt2)＝m*(dv/dt)＝m*(dv/dx)*(dx/dt)＝m*(dv/dx)*v （∵ v＝dx/dt）

よって式「1」は、
m*v*(dv/dx)＝q*E ⇔ m*v*dv＝q*E*dx →「2」

荷電粒子の初速は0であり、x＝bに達した際の速度をVとすると、式「2」の両辺を積分して
m*{0→V}∫vdv＝q*E*{a→b}∫dx ⇔ 1/2*m*V^2＝q*E*(b－a) →「3」

式「3」は、正に荷電粒子がx＝bに達した際の運動エネルギーを表しています。

いかがでしょう？

お礼

いやー本当にありがとうございます！！何度考えても
こんなふうにニュートン方程式からは導けなかったので、
すっきりしました！！また理解もすこし深まりました！！
素早い回答助かりました。
回答ありがとうございました！！！