ローレンツの式を荷電粒子の座標で見た場合の式は？

質問

ローレンツの式　F＝ｑ（Ｅ＋ｖ×Ｂ）
でｖは荷電粒子の速度ですが、この現象を荷電粒子に固定した座標系で見ればｖ＝０です。
この場合でも荷電粒子には同じ力が働くはずですが、どのような式になりますか？

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

#1,2のものです。

> 当初の座標系（電荷の速度＝ｖ）ではF＝ｑ（Ｅ＋ｖ×Ｂ）です。
> 電荷の座標系（電荷の速度＝０）でF=qEだとすれば座標によりＦが異なることになりますが？

リンク先などよく読み、さらに自分で考えてから聞くようにしましょう。
この点については二つほど考えないといけないことがあります。

1.電荷に対して静止している系でのEについて
これは#2のリンク先をよく読むように。
簡単に言えば、当初の座標系におけるEと電荷の座標系におけるE(リンク先ではEバーとしている)は異なります。

Eバー=γE+(1-γ)v(v・E)/v^2+γv×B

ここで|v|<<cとするとγ≒1と近似できます。(あくまで近似です)
γ=1とすると上の式は

Eバー=E+v×B

となります。この近似では
qEバー=q(E+v×B)
となり、元の座標系での値と一致します。(ただし、あくまで近似として)
厳密には|v|≠0ではγ<1となるため、EバーはE+v×Bとは異なる値となります。

2.当初の系と電荷の系では力Fが異なる

これは#1でも述べました。
相対論的には、この二つの系では時間の流れや長さが異なるため、加速度の向きや大きさは異なります。二つの系で力が同じなるというのは|v|<<cにおける近似に過ぎません。

電磁気の世界はニュートン力学の基礎となる"ガリレオ変換"が通用しません。
電磁気の基礎方程式であるMaxwell方程式自体、ガリレオ変換すると成り立たなくなるので当然のことです。
今回の座標変換はガリレオ変換に当たりますので、当然ながら電磁気の振る舞いには適用できないのは当たり前なのです。
また、"力"も厳密にはガリレオ変換を適用できません。

|v|<<cにおいては近似的に同じ結果を得ることはできます。これは運動エネルギー(1/2)mv^2が相対論的なエネルギーの静止状態との差の近似値であることと同じようなものです。

お礼

回答有難うございます。
私の理解力が不足しているため回答者様の回答を十分吟味できません。
ヴァージョンアップしてこの回答を精読します。

回答No.6

el156

すみません。No.5では誤解を与えるような回答をしてしまったかもしれません。
＞光速に近い速度を議論している訳でもないのにローレンツ変換を持ち出さないといけない
と言った意味は、No.3のE'=v×Bを解釈しようとするとvが光速に近いかどうかに関わらず相対論的な考えが必要になってしまう、という意味でした。ご質問のローレンツの式とは直接関係が無かったので、かえって誤解を生む回答になってしまっていたと思います。
ですが、ローレンツの式のｖ×Ｂは右手の親指と人差し指に当たり、発電機全体が車に乗って移動していても右手の法則の起電力は変わりませんから、vはやはりBに対する相対速度だと思います。
No.3の補足の質問の意味は、「一様な磁場の中を動いたとき、変化の無いものとの相対移動をどうやって観測するのか」という意味で宜しかったでしょうか。だとすれば今のところ私がわかっているのはNo.5後半の回答までです。事実としては発電機はちゃんと発電しますし、右手の法則の起電力は観測できますから、観測できていると思います。

お礼

回答有難うございます。
私の理解力が不足しているため回答者様の回答を十分吟味できません。
ヴァージョンアップしてこの回答を精読します。

回答No.5

el156

No.3の補足のコメントをありがとうございます。申し訳ありませんが私もちゃんと理解できている訳ではありません。でもフレミングの右手の法則は確かに磁場に対する速度とその時に見える電界(電流を起こす力)について語っていると思います。右手の法則は中学生の理科でも習うはずですが、実は結構深い(左手の法則と比べても深い)のではないかと思います。光速に近い速度を議論している訳でもないのにローレンツ変換を持ち出さないといけないというのは何となく釈然としません。質問者の方が仰るように、一様な磁場の中を動く時に、磁場だけを考えるとどうやってそれを認識するのか、確かに不思議です。不確かな話で恐縮ですが、もしかしてベクトルポテンシャルが関係しているのではないか、と漠然と考えています。一様な磁場の中でベクトルポテンシャルは一様ではないからです。

補足

＞光速に近い速度を議論している訳でもないのにローレンツ変換を持ち出さないといけないというのは何となく釈然としません。

ローレンツの式（Ｆ＝ｑ（E＋ｖ×Ｂ））はローレンツ変換とは関係ありません。
ｖ×Ｂの右ネジの方法に力が発生するということでフレミングの右手の法則そのものです。

回答No.3

el156

4つ前に関係する質問をさせていただいている身ではありますが、わかる部分にお答えします。
vを磁場と粒子の相対速度とすれば式は変わりません。
フレミングの右手の法則によって、磁場Bの中を速度vで動くものは、E'=v×Bという電場を感じます。
この電場E'による力、qE'が、qv×Bの正体です。
vが非常に速い場合には多少の違いが出るのかもしれません。

補足

回答有難うございます。

＞vを磁場と粒子の相対速度とすれば式は変わりません。

粒子から見て磁場の速度というのは観測出来ないと思いますが？
（磁場の変化は観測出来ます。）
回答者様はどう思われますか？

回答No.2

rnakamra

参考URLにあるサイトの(40)の式にあるように電場が得られます。
γ=1/√{1-(v/c)^2}です。

磁場Bのローレンツ変換を受けるのですが、今回の場合はその値は全く影響しないのでここでは無視。

後は得られたEを用いて

F=qE

となります。

参考URL：

http://www.astr.tohoku.ac.jp/~chinone/Special_theory_of_relativity/Special_theory_of_relativity-node15.html

補足

>後は得られたEを用いてF=qEとなります。

当初の座標系（電荷の速度＝ｖ）ではF＝ｑ（Ｅ＋ｖ×Ｂ）です。
電荷の座標系（電荷の速度＝０）でF=qEだとすれば座標によりＦが異なることになりますが？

回答No.1

rnakamra

これは相対性理論を元に考えないといけない問題の一つです。

観測する慣性系を変える(今回の座標系はまさにこれにあたります)と力、電場、磁場全てが変化します。もちろん、荷電粒子が受ける加速度も系により異なります。

補足

私の質問は「どのような式になりますか？」です。