重積分の問題です。添削をお願いします。

質問

∫∫D(x+y)e^(x-y)dxdy
　　D: 0 ≦x+y≦2, 0 ≦x-y≦2
を求める。
　　u = x+y,v = x-y
　　D': 0 ≦u≦2,　 0 ≦v≦2
　　x = (1/2)(u+v),　y = (1/2)(u-v)
　　2 2
(1/2)∫ ∫u・e^vdudv
　　0 0
　　　　　2　2
　　= (1/2)∫e^v∫ududv
　　　　　0　0
　　　　　2　　　 2
　　= (1/2)∫e^v[u^2/2]dv
　　　　　0　　　 0
　　　 2　
　　= ∫e^vdv = e^2 - 1
　　　 0　

wolframaで
(1/2)∫(0～2)∫(0～2)u*exp(v)dudv
と入力しましたが解答が合いません。どこがおかしいのでしょうか？

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>I=∫∫D(x+y)e^(x-y)dxdy
>　　D:{(x,y)|0 ≦x+y≦2, 0 ≦x-y≦2}

>　　u = x+y,v = x-y
>　　D': 0 ≦u≦2,　 0 ≦v≦2
>　　x = (1/2)(u+v),　y = (1/2)(u-v)
ヤコビアン |J|=|(1/2)(1/2)-(1/2)(-1/2)|=1/2
I = ∫[0,2] ∫[0,2] u e^v |J|dudv
>= ∫[0,2] ∫[0,2] ue^v (1/2) dudv
>=(1/2)∫[0,2] e^v dv ∫[0,2] u du
= (1/2)∫[0,2]e^v [[u^2/2][0,2]]dv
= (1/2)∫(e^v) 2dv
>= ∫[0,2] e^v dv
>= e^2 - 1

>wolframalphaで
(1/2)integrate(integrate(u*exp(v),u,0,2),v,0,2)
=e^2 -1

同じ結果が得られます。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F2%29integrate%28integrate%28u*exp%28v%29,u,0,2%29,v,0,2%29

お礼

ご丁寧な回答、まことにありがとうございました。