解析学、重積分について

質問

解析学の積分分野について質問なのですが、
∬D(e^((y-x)/(y+x))dxdy)

についてなのですが、
答えが、e/2になるときと、(e-1)/2と、(e^2-1)/4eの３パターンの解答が得られたのですが、
解き方、正しい回答ご教授よろしくお願いします

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

私が、やったら、３つの内、最後の奴になりました。

方針は、eの指数の分母の方が面倒なので、u とおく、
というもので、計算プロセスは、次の通り。

y+x = u とおくと、Dは、0≦x≦x+y＝u, 0≦x+y＝u≦1、
y-x = u-2x より、(y-x)/(y+x) = (u-2x)/u = 1 - (2/u)x

ヤコビアンはマジメに計算してもいいのですが、
変換する文字が片方だけなら、１文字の置換積分のつもりで、
dy = (∂y/∂u)du = 1*du = du と考えてもOKで、

与式 = ∫[0,1]du ∫[0,u] e^{1-(2/u)x} dx

書きにくいので、小分けすると、
∫[0,u] e^{1-(2/u)x} dx = e∫[0,u] e^{-(2/u)x} dx
= e[-(u/2) * e^{(-2/u)x}]_[0,u]
= (-e/2)u * |e^(-2) - 1} = (e/2){1 - e^(-2)}*u

与式 = (1/2)(e - 1/e)∫[0,1]udu
= (1/2)(e - 1/e) * [u^2/2]_[0,1]
= (1/2)(e - 1/e)*(1/2)
= (1/4)(e - 1/e)

という具合です。

回答No.2

R_Earl

私も(e^2-1)/4eになりました。

私はまず時計回りに45°回転させてから広義積分を考えました。
回転後のx座標をX、回転後のy座標をYとおくと、
X = (1/√2)(x + y)
Y = (1/√2)(-x + y)
となります。ヤコビアンは1です。
この時e^((y-x)/(y+x)) = e^(Y/X)となります。
あとは∫∫e^(Y/X) dXdYを、回転後の領域で重積分することになります。

まずY軸に平行な方向に沿って積分します
(最初にX軸に平行な方向に積分する事ができなさそうなので)。
領域はY = XとY = -Xに囲まれているので、積分区間は-X ～ Xです。
なので
∫e^(Y/X) dY (積分区間はY = -X ～ X)
= [Xe^(Y/X)] (積分区間はY = -X ～ X)
= (e - (1/e))X
となります。

あとはこれをX軸に平行な方向に沿って積分すれば良いです。
この時考える積分区間は0 < x ≦ 1/√2となります。
今回はx = 0の点を積分する領域に含まないので、
積分区間をn ～ 1/√2とおき、あとでn → 0を考えます。
すると
∫(e - (1/e))X dX (積分区間はX = n ～ 1/√2)
= (e - (1/e))・∫X dX (積分区間はX = n ～ 1/√2)
= (e - (1/e))・[(1/2)X^2] (積分区間はX = n ～ 1/√2)
= (e - (1/e))・((1/4) - (1/2)n^2)
となります。
最後にn → 0を考えると(1/4)(e - (1/e))となります。