微分微分

質問

問題は
原点から曲線y=x^3+ax^2+1に接線が3本引けるような実数aの値の範囲を求めよ。
です。

普通に接線を求める方法でさらに原点を通る条件を代入すると
2t^3+at^2-1=0…(1)が出てきます。
回答を見ると(1)が異なる三つの実数解を持つとき原点から3本接線が引ける。と書いてあるのですがその理由がいまいちピン！と来ません。

この辺の解説をぜひお願いしたいです。

回答No.6

noname#111804 · ベストアンサー

三次曲線：y=x^3+ax^2+1・・・・・（１）
上の接点をＰ（ｔ、（ｔ＾３+aｔ＾２＋１））とします。

そうすると、点Pを通る接線の方程式は
Y-（ｔ＾３＋aｔ＾２＋１）＝（３ｔ＾２＋２aｔ）（X-t)・・・（２）
となる。

（２）式が原点を通るためには、
０-（ｔ＾３＋aｔ＾２＋１）＝（３ｔ＾２＋２aｔ）（０-t)・・・（３）が成り立ちます。
つまり
ｇ（ｔ）＝２ｔ＾３+aｔ＾２-１＝０・・・・（４）が成り立ちます。
（４）式が３実根を持てば（１）式が原点を通る３本の接線を
持つことがわかります。

そのためには
ｇ’（ｔ）＝６ｔ＾２＋２aｔ＝０・・・・・（５）
＝２ｔ（３ｔ＋a）＝０

a＞０のとき
ｇ’（ｔ）　　　　　０　　　　　　　０
-------------------------------------------------
t 　　　／　　　-（a/３）　＼ 　　　０　　／
-------------------------------------------------

ｇ（－a/３）＝２（－a/３）＾３＋a（－a/３）＾２－１＞０・・・（６）

ー２a＾３/２７＋a＾３/９－１＞０・・・・（７）
a＾３＞２７
ゆえに
a＞３

回答No.5

noname#111804

曲線y=x^3+ax^2+1・・・・・（１）
上の接点をＰ（ｔ、（ｔ＾３+aｔ＾２＋１））とします。

そうすると、接線の方程式は
Y-（ｔ＾３＋aｔ＾２＋１）＝（３ｔ＾２＋２aｔ）（X-t)・・・（２）
となります。

（２）式が原点を通るためには、
０-（ｔ＾３＋aｔ＾２＋１）＝（３ｔ＾２＋２aｔ）（０-t)・・・（３）が成り立ちます。
つまり
２ｔ＾３+aｔ＾２-１＝０・・・・（４）が成り立ちます。

回答No.4

noname#111804

曲線y=x^3+ax^2+1・・・・・（１）
上の接点をＰ（ｔ、（ｔ＾３+aｔ＾２＋１））とします。

お礼

#４さんに失礼してここで皆さんにお礼を言いたいと思います。
2t^3+at^2-1=0…(1)自体が接線でｔの値が3つあれば
3本の原点を通る直線がある。
という解釈で間違いないでしょか??

回答No.3

f272

普通に接線を求める方法というのは、接点のx座標をtとしたんでしょ。
それで2t^3+at^2-1=0が出てきた。この方程式が異なる三つの実数解を持つということは、tが3通り考えられるということで、それは接点が3通り考えられると言うことなんじゃなかろうか？これは3本接線が引けるということですね。

回答No.2

Tacosan

(1) は「点 (t, t^3+at^2+1) を通る接線が原点を通る」条件ですよね. だとしたら, 方程式 (1) が 3個の異なる実数解を持つときは「3個の異なる点を通る接線が原点を通る」ということだから, 逆に見れば「原点を通る接線が 3本存在する」ということになります.

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞2t^3+at^2-1=0…(1)が出てきます。
このときの「t」は、どのように置かれた変数ですか？
何かの x座標になっているはずです。
「原点を通る」条件もふまえた式なので、「そのような点」が 3つあることを示せばよいわけです。

「t」が何か？ということに注目すれば、わかると思いますよ。＾＾