微分計算

質問

ａはａ≧０を満たす定数であるとし、

f(x)=-1/2x3乗+ax2乗

とする。
曲線C:y=f(x)とする。

(1)C上の点P(t,f(t))におけるCの接線Lの方程式を求めよ。
(2)Lと直線x=1の好転を(1,g(t))とするとき、g(t)をt,aを用いて表せ。
(3)tが０≦t≦１の範囲を動く時、(2)のg(t)の最大値M(a)をaを用いて表せ。

私の解き方では、
(1)…f(x)を微分し、代入。→答.(-3/2t2乗+2at)x+t３乗-at２乗
(2)…Lの方程式にx=1を代入→g(t)=t3乗-(a+3/2)t2乗+2at
までとけたのですが、(3)の最大値の解き方がわかりません。
場合分けを使うみたいなのですが…；

よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

(1),(2)
合っています。
L:y=(-(3/2)*t^2+2*t*a)*x+t^3-t^2*a
g(t)=(t^3)-(a+(3/2))*(t^2)+2*a*t

(3)
g'(t)=3*t^2-(3+2*a)*t+2*a
g'(t)=0　⇒　t=1,(2/3)a
g"(t)=6t-3-2a
g"(1)=3+2a>0
g"((2/3)a)=2a-3
a≧0だから

(A) 0≦a＜3/2 の時 (2/3)*a＜1より

g"((2/3)a)＜0
M(a)=g((2/3)a)=2*(a^2)*(9-2*a)/27

(B) a＞3/2の時　1＜(2/3)*a より
M(a)=g(1)=a-(1/2)

(C) a=3/2の時 1=(2/3)*a(重解) より
g(t)=t(t^2+3t+3),g'(t)=3(t-1)^2≧0で単調増加
M(a)=g(1)=1

(C)は(A)または(B)とまとめることが出来て、
0≦a≦3/2の時　M(a)=2*(a^2)*(9-2*a)/27
a＞3/2の時　M(a)=a-(1/2)
となります。

(ポイント)
0≦t≦1でg(t)の最大値がt=1またはt=2a/3　のどちらで発生するかを
aで場合分けする必要があるところに注意したいですね。

お礼

やっぱり場合分けしますね…；
結構こういう問題は身構えてしまいがちですが、ひとつひとつ丁寧に解けるように頑張りたいと思います。
ポイントまでつけていただいてありがとうございました！
助かりましたー。

回答No.4

Meowth

(ANo.2の訂正）0<a<3/2で最小値にしていたので、
最大値に訂正します。
0<a<3/2のとき　　M(a)=2a^2(2a-9)/27
a≧3/2のとき　単調増加
M(a)=a-1/2

回答No.2

Meowth

f'(x)=3/2x^2 +2ax
y=(3/2t^2 +2at)(x-t)-1/2t^3+at^2
y=(3/2t^2 +2at)x+t^3-a t^2
x=1とおいて、
ｇ(ｔ)＝(3/2t^2 +2at)+t^3-a t^2
＝t^3-(a+3/2) t^2+2at
tが０≦t≦１の範囲を動く時、g(t)の最大値M(a)
dg/dt= (t-1)(3 t-2a)
dg/dt=0とおくと
ｔ＝1　ｔ＝2a/3
a≦0 のとき０≦t≦１で単調減少　Ｍ（ａ）=0
0<a<3/2のとき　　ｔ＝０で０　ｔ＝１でa-1/2
だから
0＜a≦1/2　　M(a)=0
1/2＜a≦3/2 M(a)=a-1/2
a>3/2のとき　単調増加
M(a)=a-1/2
結局
a≦1/2 　M(a)=0
a＞1/2 M(a)=a-1/2

y=-1/2x^3+ax^2=(3/2t^2 +2at)x+t^3-a t^2

x = 2 a - 2 t

お礼

Ｍ(a)は最大値の書き方でしょうか？
単調減少・増加の単調もなんとなくわかりますが…（すみません数学知識が浅くて；）普通に増加する、減少するで考えてみていいのでしょうか。。？
でも、詳しく説明していただけてありがたいです！
自分でも解けるように頑張ります。

回答No.1

debut

^2 は２乗です。

g'(t)=3t^2-(2a+3)t+2a=(3t-2a)(t-1)
なので、t=2a/3がt=1より小さいのか大きいのかでg(t)に関する
違う増減表が書けます。よって、2a/3の場所で場合分けです。
・０≦2a/3＜１→０≦ａ＜３/２
・１≦2a/3　→３/２≦ａ

あとはおのおので増減表を書いて調べてください。

お礼

２乗の書き方がわからなかったので、読みにくかったかもしれません；
ありがとうございますｖ
増減表はやっぱり必要ですね。書いてみます。
ありがとうございました！