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稠密についての問題です。
『ｎ次元Euclid空間において、有理点全体の集合は 稠密である』 と教科書に書いてあるのですが、いまいちよくわかりません。どのように考えればよいのでしょうか？ 教えてください。よろしくお願いします。
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＃１＃４fushigichanです。しつこくお邪魔します・・ ＞ｎ次元になるとまだよくわかりません。 これを証明するとなると、どのようにかけるのでしょうか？ n次元の有理数点の稠密性ですね。ちょっと難しそうですが、順番に考えてみましょう。 まず、この際近傍のことは、ちょっと置いておきましょう。 そして、１次元では、 a∈Q（有理数）,b∈Q,a<bのとき、∃c∈Qであって、 a<c<b が稠密の定義でした。 これをn次元まで拡張すると、 ∀a,b∈Q[n]←n次元のユークリッド空間R[n]上の有理数点全体の集合 a<b→∃c∈Q[n] であって a<c<b となっている これをいえればいいですね。 さて、a,b∈Q[n]について、a<bであるとは、 a=(a1,a2,a3,・・・,an) b=(b1,b2,b3,・・・,bn)とおくと a1<b1,a2<b2,・・・an<bn それぞれのn番目の成分が、点aのほうが点bの成分より小さくなっている。 ということです。 ここで、有理数点なので、たとえば ∃n,m,k,l∈Nある自然数が存在して a1=m/n,b1=k/l とかけるはずですね。 a1<b1なので、 m/n<k/l通分して a1=ml/nl<nk/nl=b1 ml<nkですから、少なくともnk-ml≧1 そこで、分子分母を２倍すると a1=2ml/2nl<2ml+1/2nl<2nk/2nl=b1 ↑ となって、ここに、a1とb1の間に有理数点c1が取れる。 これは、第一成分について調べたが、全てのn個の成分についても 同様に有理数点c2,c3,・・・cnが取れる。 したがって、 a1<c1<b1,a2<c2<b2,・・・・an<cn<bn・・・（☆） が成り立つので、 c=(c1,c2,c3,・・・,cn) という点cを取れば、これはc∈Q[n]であることは明らか。 さらに（☆）を満たしているので、n次元のユークリッド空間においても 有理数点全体の集合は稠密であることが証明された。 ・・のように書けばいいかなと思います。 ご参考になればうれしいです。頑張ってください！！
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- Mell-Lily
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集合Xが稠密であるとは、 ∀a,b∈X, a<b ⇒ ∃c∈X, a<c<b ということです。 n次元Euclid空間R_n上の有理数点全体Q_nが稠密であるとは、 ∀A,B∈Q_n, A<B ⇒ ∃C∈Q_n, A<C<B ということです。 n次元Euclid空間R_n上の有理数点全体Q_nの要素、A,B,Cは、成分表示すれば、 (a_1,a_2,a_3,…,a_n), (b_1,b_2,b_3,…,b_n), (c_1,c_2,c_3,…,c_n) です。 n次元Euclid空間R_n上の有理数点全体Q_nの要素、A,Bについて、 A<B であるとは、 a_1<b_1, a_2<b_2, a_3<b_3, …, a_n<b_n ということです。 以上のことから、証明すればいいでしょう。
- fushigichan
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＃１です。 ページが開けませんね・・ もう一度、２番目の参考URL載せておきますね。
- fushigichan
- ベストアンサー率40% (4040/9937)
＃１fushigichanです。 もっと分かりやすい説明がのっているサイトはないかな、と探していたら ありました！載せておきますね。 有理数の稠密性とは、簡単にいえば、 a∈Q（有理数）,b∈Q,a<bのとき、∃c∈Qであって、 a<c<b となっている、ということです。 つまり、実数全体の集合の、どんな要素を二つとってきても、 さらに、その間に、また実数が存在する、ということです。 ＃１で定義したのは、位相空間における集合の稠密製だったのですが ちょっと言葉がややこしかったかも知れません。 また、連続であることと、稠密であることは違います。 もう一つ、有理数全体の集合が、稠密であって 連続でないことについて触れているページも載せておきます。 有理数が連続でないことは、イメージとしては分かりやすいと思います。 また、余談ですが、稠密のことを「ちゅうみつ」と私は習ってきたのですが 辞書で引くと「ちょうみつ」だそうですね。 入力すると、どちらも稠密と変換されますが・・ ご参考になればうれしいです。
- Mell-Lily
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”稠密”とは、どんな二つの数の間にも、また別の数が存在するということです。例えば、2/3と5/6の間には、9/12が存在します。因みに、”稠密”は、”連続”とは違います。
お礼
アドバイスありがとうございます。
- nickdayo
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低い次元で考えると分かり易いのではないでしょうか。 1次元だったら、2つの有理数をどのようにとってきても、その2つの間には別の有理数が存在することはイメージできますよね？ これをn次元に拡張したわけです。 ある有理点を好きなようにとってきたとします。 この有理点の周りを適当に囲んでください。 この時有理点をどんなに小さく囲んだつもりでも、その囲いの中には別の有理点が必ず存在するって言ってるわけです。 このイメージがつかめればNo.1の方が言われている定義も納得いくと思います。
お礼
アドバイスありがとうございます。 イメージしやすくなりました！
- fushigichan
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white11さん、こんばんは。 稠密とは、辞書で引くと「ぎっしりと数多く集まっていること」 とあります。 有理数の稠密性について、参考URLを載せておきます。 ちょっと、分かりにくいかも知れませんが・・ さて、数学における稠密性とは、 ある距離空間(X,d)の中で S,T⊂X SがTの中で稠密であるとは、 ∀t∈T,∀ε>0 Uε(t)∩S≠φ（空集合ではない） i.e. ∃s∈S,d(t,s)<ε のように定義します。 つまり、Tのどの点tのε近傍には、必ずSの点がある！ということです。 T=R（実数）S=Q（有理数）と考えてみれば分かりやすいと思います。 上手に説明できなくてすみません。 ご参考になればうれしいです。
お礼
アドバイスありがとうございます。だいぶ、イメージがつきやすくなりました。 でも、具体的に１次元や２次元と考えると、わかるようになりましたが、ｎ次元になるとまだよくわかりません。 これを証明するとなると、どのようにかけるのでしょうか？私は、有理数の稠密性を使って、 任意のｘ∈ｎ次元Euclid空間Ｒをとり、そのε近傍をとりました。そして、そのε近傍内にまた実数がとれるので、その２つの実数の間には、有理点が存在すると思ったのですが．．．。 いまいち証明となると分からなくなります。 証明をするには、どうすればわかりやすくなるのでしょうか？