稠密について、集積点(触点)、閉包って何ですか?

質問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14133159999
上記URLのベストアンサーの回答より下記引用します。
ーーーー引用しますーーーー
　(3)稠密
　集合Pの集積点（触点）をすべて付加した集合をPの閉包とい
　う。Pバーであらわす。稠密とは、P⊂Q,Pバー⊃Qのとき、P
　はQで稠密であるという。
ーーーー引用終わりーーーー

1がある。
1の次のものがあって、それは2である。
2の次のものがあって、それは3である。
3の次のものがあって、それは4である。
4の次のものがあって、それは5である。
5の次のものはない。

集合Q　Q={1,2,3,4,5}
集合P　P={2,4}
集合R　R={2,3}

PはQで稠密でない。だって、間があるから。間は3です。
RはQで稠密である。だって、間がないから。

とするとき、集積点(触点)や閉包が分からないです。
集積点(触点)や閉包はどうなりますか?
Pの要素の2のQでの両隣の要素は集積点(触点)で1と3。
Pの要素の4のQでの両隣の要素は集積点(触点)で3と5
Pの閉包をPバーと呼ぶ。
Pバー={1,3,5}
Pバー={1,3,5}⊅Q={1,2,3,4,5}　　
Qの要素の2と4が余るのでQはPバーに含まれない。
P={2,4}⊂Q={1,2,3,4,5}　　　　
Pの要素が余らないのでPはQに含まれる。
PはQで稠密でない。
間があるから。

Rの要素2のQでの両隣の要素は集積点(触点)で1と3。
Rの要素3のQでの両隣の要素は集積点(触点)で2と4。
Rの閉包をRバーと呼ぶ。
Rバー={1,2,3,4}
Rバー={1,2,3,4}⊅Q={1,2,3,4,5}　
Qの要素の5が余るのでQはRバーに含まれない。
R={2,3}⊂Q={1,2,3,4,5}　　　　
Rの要素が余らないのでRはQに含まれる。
RはQで稠密でない。
間が無いから。
稠密であることと間が無いことが合致してほしいのだが、すっき
りしないです。

⊂と⊆は同じ意味とする。
⊂と⊊は違う意味とする。
⊂は部分集合の意味とする。
⊆は部分集合の意味とする。
⊊は真部分集合の意味とする。
⊄と⊈は同じ含まれない、真部分集合でなく、かつ、部分集合で
もない。という意味とする。

稠密について、集積点(触点)、閉包って何ですか?
分数をたくさん用意しないとうまくいかないのではなかろうか?
分数をたくさん用意しても、間があるのを言うのは簡単そう。間
は1/2ですって言えそう。
分数をたくさん用意すると、間がないのを言うのは難しそう。ぜ
んぶそろってるのかな?

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

> http://okwave.jp/qa/q9301709.html
この位相 (phase) ではありません。

取り敢えず、位相(topology)（位相空間）の定義を知っておかないと話にならないので、先ずは位相の定義を学習してから、その後でもう一度質問してください。

先程もいいましたが、Qにいれる位相の如何によって、PがQの中で稠密かどうかは異なります。例えば、Qに密着位相を入れればPはQの中で稠密ですが、Qに離散位相を入れればPはQの中で稠密ではありません。

ネットで読もうとすると中途半端な知識しか得られず、ろくな事がないので、本で学習するのがいいです。松坂和夫「集合・位相入門」（岩波）でも読んでください。

お礼

了解いたしました。アマゾンのレビューも良さげです。ご紹介い
ただいた本を読んで勉強いたします。ありがとうございました。

回答No.1

tmpname

「PがQで稠密」かどうかは、Qにどういう位相が入っているかで変わってきます。
Qに位相を入れた上で、その上で

「Pの閉包（つまり、Pを含む閉集合の中でもっとも小さいもの）がQに一致する」

とき、「PがQで稠密」というのです。（いま言った通り、「Pの閉包」というのは「Pを含む閉集合の中でもっとも小さいもの」と同じで、それはQに入れている位相によって変わってきます）
今の場合、Qにはどういう位相を入れていますか？

お礼

Qには、suc()、suc(suc())の2つの位相を入れています。

位相だと?そんなものは知らん。私が知りたいのは閉包と集積点
だ!と脊髄反射しそうになりました。脳みそが動くのは気持ちいい
のに、脳みそが動くのを拒否したくなる気もするのは不思議なも
のです。よし!位相を理解することが必要だと指摘受けとりました。

http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/settop.html
上記より引用します。
ーーーー引用はじめーーーー
　日常生活では近い遠いという距離の概念は重要である．
　(中略)
　極限や連続の考察から開集合の概念および位相（トポロジー）
　の概念が誕生した．
ーーーー引用終わりーーーー
位相は距離っぽい感じ。
位相を入れたつもりはない。が改めて考えると、1だろうか。1と
2の距離は1。2と3の距離は1。いや。ちがう。計算は決めてない
。次のもの、が位相だ。4種類の位相を入れた。
次のもの、次のものの次のもの、次のものの次のものの次のもの、
次のものの次のものの次のものの次のもの。
決断しよう。1から2への次のものと、2から3への次のものと、3
から4への次のものと、4から5への次のもの、これらは同じ、次
のものだ。あああ・・・でも・・でも・・・ちがうつぎのものだ
ったらどうしよう。記号にまとめると不安になりにくいな。

Qには、suc()、suc(suc())、suc(suc(suc()))、suc(suc(suc(s-
uc())))の4種類の位相を入れました。

下記5つは禁止しないといかんな。
うごかないやつ。suc(1)=1
飛ばすやつ。　　suc(1)=3、suc(1)=4
もどるやつ。　　suc(2)=1
ループするというか、飛ばしてもどるやつ。suc(4)=1
どっかから1に来るやつ。suc(?)=1
これは最初に禁止したな。suc(5)=?

http://okwave.jp/qa/q9301709.html
上記URLのベストアンサーの一部引用します。足元、2つ下の
問にヒントがあった。
ーーーー引用しますーーーー
　「位相」は、「周期的な運動をするもの（波とは限りません）
　がその周期の中でどこの位置に居るか、を表す量となります。
ーーーー引用終わりーーーー
suc(suc(suc()))とsuc(suc(suc(suc())))は1回しかできないの
で、周期が無く、位相っぽくないです。
suc()は4回できる。suc(suc())は2回できる。ので位相です。と
いうわけでお礼コメントの1行目です。

Pバーを決めるとき、Pの要素の両隣を集めるってのは誤ってたな。
Pの要素の次のもの、suc()達の集合だな。でも、Pを含む閉集合の
中でもっとも小さいものの方が、正しいんだろう。

さらに誘導があるだろうが、勝手に先走ってみよう。集合を拡張
して、開集合と閉集合があるようにしないといかんかも。
http://proofcafe.org/k27c8/math/math/topological_space/page/open_set_or_closed_set/
上記URLをちょっと学ぶ。(は開で[は閉か。

QとPとRは閉集合のつもりだった。端っこの要素が属するから。
集合Q　Q={1,2,3,4,5}∍1　Q∍5　なので　Q=[1,5]で閉集合。
集合P　P={2,4}　うわーこれわからーん。[2,2]⋀[4,4]だと気
持ち悪い。[2,2]⋁[4,4]の方がまだマシだけど、やっぱ気持ち悪
い。[2,2]∪[4,4]で納得。[2,2]∪[4,4]∍2だし、[2,2]∪[4,4]
∍4だ。　　　　
集合R　R={2,3}∍2　R∍3　なので　R=[2,3] で閉集合
R=(1,4)で開集合、R=(1,3]で開閉集合、R=[2,4)で閉開
集合といってもいいかも。

PバーはPを含む閉集合の中でもっとも小さいもので言えそう。
Pバー=[2,4]⊅Q
Rバー=[2,3]⊅Q
PはQで稠密でない。
RはQで稠密でない。
開集合、閉集合では間が埋まってるよってのが、言わせんなよ・
・・もう・・・って感じになってるな。

集合SをS={1,5}とする。S⊂Q
Sバー=[1,5]なので、Sバー⊃Qだな。
SはQで稠密である。スカスカのくせに・・・