回答例をお願いします。

質問

次の数列が収束することを示します。
上に有界であることと単調増加数列であることを示せばいいことだと思うのですがどのように回答すればいいのかわかりません。

an=Σk=1~n 1/k－logn=1+1/2+1/3+…+1/n－logn

回答No.2

EH1026TOYO

既に解答が付けられているので蛇足にはなるが・・!
別のやり方で・・
a𝐧 = 1+1/2+1/3+‥‥+1/n－logn とした時
a𝐧 - a𝐧₋₁ = 1/n - log(1+1/(n-1))＜1/n - 1/n = 0　　(n≧2)
よって{a𝐧}は減少数列　(増加数列ではない!)
また、
a𝐧 ＞log(2)+log(3/2)+…+log((n+1)/n) - logn
= log(n+1) - logn
= log(1+1/n)＞0
よって{a𝐧}はn➝∞で有限の極限値c(＞0)を持つ

回答No.1

gamma1854

関数 y=1/x を利用する方法でやってみます。
まず、Σ[k=1~n]1/k > ∫[1~(n+1)]dx/x = log(n+1).　ですから、
a[n] > log(n+1) - ln(n) > 0,
a[n] - a[n+1] = log(n+1) - log(n) - 1/(n+1) >0.
よって、数列{a[n]} は単調減少で下に有界であることより、
lim[n→∞]a[n] = C. (正の定数).
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※省略したところはご自身で書いてください。