偏微分方程式の問題を教えてください。

質問

{U(0,y)=U(1,y)=U(x,0)=0, U(x,1)=a} という境界条件のもと
次のラプラスの方程式を解け。ただし0≦x≦1, 0≦y≦1とする。

(∂^2U/∂x^2)＋(∂^2U/∂y^2)=0

この問題がどうしてもわかりません。解き方のわかる方教えて頂けないでしょうか。

回答No.2

Ae610

U(x,y)=X(x)Y(y)とおく。
ΔU=∂^2U/∂x^2＋∂^2U/∂y^2=0より
X"(x)Y(y)+Y"(y)X(x)=0
∴X"(x)/X(x) = －Y"(y)/Y(y)
左辺はxのみ右辺はyのみの関数であるから定数となる。
これをλとおくと
X"(x)=λX(x)、Y"(y)=－λY(y)
境界条件U(0,y)=U(1,y)=0よりX(0)=X(1)=0
∴X(x)＝C・sin(nπx)　(Cは任意定数)
　λ=-n^2(n=1,2,・・・)として
Y"(y)=n^2・Y(y)の一般解は
Y(y)=A・cosh(nπy)+B・sinh(nπy) (A,Bは任意定数)
と書ける。
U(x,0)=0, からY(0)=0
A・cosh(nπ・0)+B・sinh(nπ・0)=0
∴A=0
よって任意定数として改めてbnと書いて
U(x,y)=bn・sin(nπx)・sinh(nπy)と表せる。
また、重ね合わせによって
U(x,y)=Σ(n=1～∞)bn・sinh(nπy)・sin(nπx)も解となる。
U(x,1)=aから
U(x,1)=a=Σ(n=1～∞)bn・sinh(nπ)・sin(nπx)
bn・sinh(nπ)=2∫(0,1)｛asin(nπx)｝dx=(2a/nπ)・(1-(-1)^n)
∴bn=2a(1-(-1)^n)/(nπsinh(nπ))
u(x,y)=2aΣ(n=1～∞)｛(1-(-1)^n)sin(nπx)・sinh(nπy)/(nπsinh(nπ))｝

お礼

面倒な計算まで引き受けてくださりありがとうございます。
また機会があればよろしくお願いいたします。

回答No.1

alice_38

調和関数の一般解を求めようとは、何とも膨大な…

ところで、
その境界条件、U(0,1) と U(1,1) はどうなっていますか？
境界上での微分可能性は？