微積

質問

問い：与えられた変数関数を用いて、∫D　ｆｄｓを計算せよ。

(1)D:（x/a）^2+(y/b)^2=1の内部、ｆ（x,y）=x^2+y^2 、x=atcosθ、y=btsinθ

ヤコビアンを求めたところ、abtとなりましたが、このあと、ｒとθの範囲がよくわかりませんでした。教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

f(atcosθ,btsinθ)=t^2(a^2cos^2(θ)+b^2sin^2(θ))
D→ D':{(t,θ)|0≦t≦1,-π≦θ≦π}→D":{(t,θ)|0≦t≦1,0≦θ≦π/2}
I=∫[D]ｆdS=∬[D] (x^2+y^2)dxdy
=∬[D'] t^2(a^2cos^2(θ)+b^2sin^2(θ))abtdtdθ
=4ab∬[D"] t^3{a^2cos^2(θ)+b^2sin^2(θ)}dtdθ
=4ab{∫[0,1] t^3 dt}
*{(1/2)∫[0,π/2](a^2(1+cos(2θ)+b^2(1-sin(2θ))dθ}
= ...
あとは簡単に積分できるでしょう。

→　(abπ/4)(a^2+b^2)-(1/2)ab^3

計算してみてください。

回答No.1

Tacosan

その x と y を D (を定める式) に代入すれば t の範囲は分かる... というか, ある意味では「そのための置き方」だ.
θ の範囲は「どう積分するか」によっていろいろ考えられる. D と f がどちらも x軸 および y軸に関して対称であることに注意.