正月ボケの解消のために

質問

遊び過ぎと食べ過ぎによる正月ボケの解消のためのトレーニングをして下さい。

mとnは共に自然数で、m≧nとする。
xの2つの方程式：x＾2-mx＋2n＝0、x＾2-nx＋2m＝0が共に自然数の解をもつ時、mとnの値の組を全て求めよ。

回答No.1

112233445 · ベストアンサー

計算のところは省略しました。計算量が多いと思いながら以下のように考えてみました。計算量が多いと言うことは、たぶん、本筋の解答でないのだろうと思いながら計算しました。厳密性や単純性がなく、強引なやり方で分かりづらい点あると思います。以下の解答の流れで考えてみました。自信はありませんので、いろいろご指摘ください。

(1)x＾2-mx＋2n＝0、(2)x＾2-nx＋2m＝0　(1)の解をａ,ｂ(a>=b)とし、
(2)の解をc,d(c>=d)とおく。
解と係数の関係から　　a+b=m,ab=2n,c+d=n,cd=2m
これより、　８－(ａ－２)(ｂ－２)＝(ｃ－２)(ｄ－２)・・＊
ここで、ｄ＝１を(2)に代入すると1-n+2m=0,これとm>=nからn<=-1となり
ｄ＝１は(2)の解でない。よって、c-2>=0,d-2>=0 。
（ア）ｂ＝１のとき、1-m+2n=0 これと、(2)の判別式n^2-8mが平方の形になることから、（ｍ，ｎ)=(21,10),(39,19),(55,27)
(イ)ｂ＝２のとき、4-2m+2n=0 これと＊から
　　　　(m,n)=(12,10),(15,13)
(ウ)ｂ＝３のとき、
　　　同様に　　(m,n)=(９，９）
（エ）ｂ＝４のとき、
　　　同様に　　(m,n)=(８，８）　
（オ）ｂ＞＝５のとき、
　　　＊の左辺がマイナスになるので不適。
以上より、組は７個

お礼

解答を有難うございます。答はあってると思いますし、実はこの解法も考えていたのですが。。。。。
私の用意した解答は下記の通り。

最初の方程式の解をα、β（α≧β）とすると、解と係数から、α＋β＝m、αβ＝2n。
m≧nよりαβ≦2（α＋β）≦4α　‥‥(1)　であるから、β≦4.　つまりβ＝4、3、2、1。
【1】β＝4の時、(1)よりα＝4.この時、m＝8、n＝8となるから、第2の方程式は、x＝4（重解）。
【2】β＝3の時、(1)よりα≦6.αは偶数から、α＝6、4。
（α、β）＝（6、3）の時、m＝9、n＝9となるから、第2の方程式は、x＝3、4。
（α、β）＝（4、3）の時、m＝7、n＝6となるから、第2の方程式は整数解をもたない。
【3】β＝2の時　2-m＋n＝0であるから、第2の方程式は、x＾2-nx＋n＋2＝0　→　　n（x-1）＝x＾2＋2　x-1≠0から　n＝（x+1）＋（3）/（x-1）。従って、x-1＝1、3.　→　x＝2、4　→　（m、n）＝（4、2）、（6、4）。共に不適。
【4】β＝1の時　（上と同じ解法でも良いが、別の解法にしよう）　2つの解は　1とαであるから、m＝α＋1、2n＝α
従って、第2の方程式は、x＾2-（α/2）x＋（α＋1）＝0、判別式＝（α-8）＾2-80＝k＾2　（kは0以上の整数）となるから　→　（α－8＋2k）*（α-8-2k）＝80。
α－8＋2k≧α－8-2k　から　（α－8＋2k）*（α-8-2k）＝（80、1）、（40、2）、（20、4）、（16、5）、（10、8）。そしてこの時の、mとnの値は？　（省略）

計算ミスとcarelessミスが多いので、結果の数値は信用しないで下さい。