単項イデアル整域と一意分解整域がイコールの関係であるということは文献な

質問

単項イデアル整域と一意分解整域がイコールの関係であるということは文献などを見ると自明のように書かれているのですが、どのようにして示すことができるのでしょうか？

お願い致します。

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

＞単項イデアル整域と一意分解整域がイコールの関係である
どんな文献なんでしょうか？
「単項イデアル整域が一意分解整域であること」は成立しますが、「一意分解整域が単項イデアル整域であること」は一般に成立しないはずです。
その文献に書かれているのがウソか、もしくはあなたがその文献を読み違えているかのどちらかですね。

そうそう、下記のサイトに「単項イデアル整域が一意分解整域であること」の証明があります。
http://subsite.icu.ac.jp/people/hsuzuki/science/class/algebra2/alg2text/node8.html

お礼

いつもありがとうございます。

とても参考になりました。

回答No.2

33550336

単項イデアル整域（PID）＝一意分解整域（UFD）
という主張は誤りです。
No.1の方の回答に片側の証明があるので、こちらでは逆の反例を。
一般にUFD係数の多項式環はまたUFDとなります。
なので整数環Zを係数にする一変数多項式環Z[X]はUFDです。
（整数環Zはユークリッド整域→PID→UFD）
ですが、Z[X]の中で、２とXで生成されるイデアルは単項イデアルではないです。
よってZ[X]はPIDではありません。

お礼

なるほど！

大学数学の内容は用語などが難しい場合が多いためとても助かりました。

ありがとうございます。