数学

質問

Rを可換環とし、IをRのイデアルとします。

このとき、R/Iが単項イデアル整域となるようなIの条件は何なのでしょうか？

例えば、
•Iが素イデアル⇔R/Iは整域
•Iが極大イデアル⇔R/Iは体
(厳密にはこの場合R≠{0})
などは有名ですが、R/Iが単項イデアル整域であるためには、Iはどんな性質を満たさないとならないのでしょうか？

直感的には、素イデアルと極大イデアルの中間の性質を持つ気がします。

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

単項イデアル整域（Principal Ideal Domain, PID）とは、全てのイデアルが単項イデアルであるような整域を指します。これを基に、あなたの質問に答えさせていただきます。

Rを可換環とし、Iをそのイデアルとします。R/Iが単項イデアル整域（PID）であるための条件は以下のようにまとめられます。

1. **素イデアルであること**：
- まず、Iが素イデアルである必要があります。これは、R/Iが整域となるための条件です。素イデアルでない場合、R/Iには零因子が存在することになり、整域としての条件を満たさなくなります。

2. **ある種の生成元を持つこと**：
- PIDは、全てのイデアルが単項イデアルである環です。したがって、R/Iの全てのイデアルが単項イデアルでなければなりません。このため、IはRの中で特殊な位置を占める必要があります。具体的には、IがrR (r ∈ R) の形で、単項イデアルとして表されることが望ましいです。この場合、rがRの零因子でない限り、R/Iは自然と整域になります。

3. **極大な単項イデアルであること**：
- 極大イデアルであって、さらにそれが単項イデアルであるならば、R/Iは体になり、当然PIDの条件も満たします。しかし、PIDは体よりも広い概念なので、必要条件としては極大である必要はありません。

### 結論
まとめると、R/Iが単項イデアル整域（PID）となるようなIの条件は、次のように要約できます：
- Iはまず素イデアルでなければならず、さらに I = rR（r ∈ R）で表される単項イデアルであることが重要です。

この条件により、IがRの中でどのような位置にあるべきかが特定でき、R/Iが単項イデアル整域となります。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による参考回答です。
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