数列の問題を教えて下さい。

質問

数列の問題を教えて下さい。

｢問」
ある月の初めに100万円を借り、その100万円を以下の条件のもとで返済していく。
(条件)毎月末に一定の金額M円を返済し、返済後の残額にその4％を利息として上乗せをした金額を次の月初めに新たな返済すべき残額として設定する。ただし、月末の時点での残額がM円以下の場合にはその金額を支払って返済を終了する。
このとき、次の問いを答えよ。（必要ならば、1.04^60=10.52を用いてもよい。）
(1)a[0]を100万円とし、nカ月後(n>=1)の月初めにおける残高をa[n]とする。
　 a[n-1]>=Mのとき、a[n]とa[n-1]との関係を求め、a[n]をn,Mで表せ。
(2)Mが３万のとき、60ヶ月後の月初めにおける残高を千円単位を切り捨てて答えよ。
(3)60ヶ月以内に返済を終了するためのMの条件を百円単位を切り上げて答えよ。

(1)M円を返済した残額に４％の利息がつくので
　a[n]=(a[n-1]-M)×1.04 となると思います。
　その先が詰まってしまいました。
　解説をお願いできないでしょうか。
　よろしくお願いいたします。

回答No.1

chan-aboo · ベストアンサー

(1)
r = 1.04とします。
{a[n] - r M / (r - 1) } =r { a[n - 1]- r M / (r - 1) }と変形します。
{ }の中を、新たな数列と捕らえると、
これは、公比rの等比数列です。だから、
a[n] - r M / (r - 1) = {a [0] -r M / (r - 1) } r^n
となり、a[n]は求まります。
(2)
a[60] = {a[0] - r M / (r - 1) } r^60 + r M / (r - 1)
ここで、r M / (r - 1) = 1.04*30000/0.04=26*30000=780000なので、
a[60] = (10^6-780000)*10.52+780000
= 220000*10.52+780000
= 3094400
となり、切り捨てて309万円となります。
(3)
a[60]=M r / (r - 1) (1 - r^60) + a[0] r^60 ≦ 0
M (1.04 / 0.04) (-9.52) ≦ -10520000
M ≧ 10520000/9.52/26≒42501.6
100円単位を切り上げると月43000円以上返さねばなりません。

以上の計算は、必ず、チェックして下さい。

お礼

ありがとうございました。これからもよろしくお願いいたします。