微分積分学・数列の問題

質問

n≧0、p∈Nに対して、漸化式
a[0] = α > 1、a[n+1] = {p/(p+1)}a[n] + 1/{(p+1)(a[n])^p}
で与えられる数列{a[n]}を考える。
この時lim[n→∞](a[n])はどうなるか。

この問いが分かりません。教えてください。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

f(x) = {p/(p+1)}x + 1/ {(p+1) x^p} とおけば、a[n+1] = f(a[n])であるから、f(x)の性質を調べる。
先ず、p=0なら a[1] = 1で以降n≧1なら a[n] = 1であるから、(a[n])は1に収束する。従ってp≧1の場合を考える。

f'(x) = {p/(p+1)} (1 - 1/x^(p+1)}である故、0<x<1でf'(x) < 0, x=1でf'(x) = 0, x>1でf'(x) > 0。即ち0<x<1でf(x)は狭義単調減少、x=1でf(x)は最小値1, x>1でf(x)は狭義単調増加となる。従って、x≧1なら、f(x) ≧f(1) = 1である。
又、g(x) = f(x) - xとおけば、0<x<1ではg(x) = f(x) -x > f(1) - 1 = 0, x=1でg(x) = 0。又x>1ではg'(x) = f'(x) - 1 < p/(p+1) - 1 < 0である故、g(x)は単調減少、従ってx>1ではg(x) < g(1) = 0。よって、x >1ならf(x) < xである。特に、f(x) = x、x>0の解はx=1しかない。

従って、帰納的に 1≦ a[n+1] ≦ a[n]が成り立つ。よって(a[n])は下に有界な単調減少数列である故、収束する。収束値 cはc≧1である。

a[n+1] = f(a[n])である。f(x)はx≧1で連続である故、n→∞の極限を取ると、c = f(c)となる故、c=1である。従って、(a[n])は1に収束する。

お礼

ご回答ありがとうございました。