n本の円柱の共通部分の体積

質問

nを2以上の整数とし, xyz空間においてn本の直線L_1,L_2,…,L_nを次のように定める.
L_k:xcos(kπ/n)+ysin(kπ/n)=0,z=0 (k=1,2,…,n)
このn本の直線L_1,L_2,…,L_nを中心軸とする半径a(a>0)のn個の円柱について, その内部の共通部分の体積をV_nとする. V_nを求めよ.

という問題です。
とりあえず、z=t(-a<t<a)での切り口の面積S(t)を求めたいです。そうすればV_n=∫[-a,a]S(t)dtで求められるので。
L_1,L_2,…,L_nがxy平面を2n等分するような原点を通るn本の直線だということは分かりましたが、具体的に切り口がどのような図形でS(t)がどうなるかが分かりません。どなたか教えてください。

ちなみに答えはV_n=(8/3)(a^3)ntan{π/(2n)}です。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

n=2のとき、
z=tでの切ったときの断面は、１辺が2√(a^2-t^2)の正方形
よって体積は、
V_2=∫[-a,a]4(a^2-t^2)dt
=4[a^2t-t^3/3][-a,a]
=(16/3)a^3

n=3のとき、
z=tでの切ったときの断面は、１辺が(2√3/3)√(a^2-t^2)の正６角形
よって体積は、
V_2=∫[-a,a](2√3)(a^2-t^2)dt
=(2√3)[a^2t-t^3/3][-a,a]
=(8√3/3)a^3

nのときは、z=tでの切ったときの断面は正2n角形で、
正2n角形の中心から各辺の中点までの長さは√(a^2-t^2)になり、
そのときの面積は、
S(t)=2n(a^2-t^2)tan{π/(2n)}

お礼

ご回答ありがとうございます。