2つの円錐の共通部分の体積

質問

【問題】
xyz空間内に点A(-2, 0, 2)とB(2, 0, 2) がある．また，点Pはxy平面上の原点を中心とする半径2の円の周と内部を自由に動く点とする。
線分APの通過する範囲をK，線分BPの通過する範囲をLとするとき，KとLの共通部分の体積を求めよ．

上の問題を解いていたのですが，行き詰ってしまったためどなたか教えていただけませんか．以下，私の解答です．また，表記の都合上，OAベクトルを「OA↑」と書くことにします．
【私の解答（途中まで）】
xy平面上の原点を中心とする半径2の円の周を自由に動く点をQとすると，Q(2cosθ, 2sinθ, 0) (0≦θ≦2π)とおける．線分AQ，BQと平面z=t(0≦t≦2)の交点をそれぞれA'，B'とする．A'，B'はそれぞれ線分QA，QBをt:(2-t)に内分する点なので，
OA'↑=(1/2){(2-t)OQ↑+tOA↑}
=((2-t)cosθ-t, (2-t)sinθ, t)
同様に，
OB'↑=((2-t)cosθ+t, (2-t)sinθ, t)
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1より，z=t上におけるA'の軌跡は
(x+t)^2+y^2=(2-t)^2 …(1)
同様に，B'の軌跡は
(x-t)^2+y^2=(2-t)^2 …(2)
点Pはxy平面上の原点を中心とする半径2の円の周と内部を自由に動くので，KとLの共通部分をz=tで切ってできる断面は(1)と(2)の円の周と内部の共通部分である．そこで，この部分の面積をS(t)とおき求める．
(1)と(2)はy軸に関して対称なので，(2)とy軸に囲まれてできる部分の面積の2倍がS(t)である．
また，共通部分ができるには，(2)の半径が，中心のx座標以上であればいいので，
2-t≧t⇔t≦1
0≦t≦2と合わせて，0≦t≦1
さて，図（※添付画像）のように点を定め，∠ORS=φとする．このとき，∠OUS=2φ．
OR=2，OS=2√(1-t)より，RS=2√(2-t)
よって，cosφ=1/√(2-t) …(3)
S(t)=2{(扇形STU)-(三角形STU)}
=2{(1/2)・(2-t)^2・4φ - (1/2)・(2-t)^2・sin4φ}
=4φ/(cosφ)^4+sin4φ/(cosφ)^4

あとは，求める体積をVとすると，
V=∫[0→1]S(t)dt
ですが，(3)を用いてtからφの積分にする訳ですが，被積分関数が複雑な形になってしまい計算することができません．
どこかで計算ミスをしているのでしょうか？それとも，φの置き方がまずかったのでしょうか？
どなたか分かる方，どうか教えていただけませんか．よろしくお願いいたします．

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

問題文が正しいとすると
立体の3次元図は添付図のようになります。

共通部分の立体はxz平面およびyz平面に対して対称なので、
共通部分の体積Vは, x≧0,y≧0,z≧0の部分を体積V1を4倍になる。

積分領域D={(x,y)|x^2+y^2≦4, x≧0,y≧0}とすれば
zは
Aを頂点とする円錐の円錐面の方程式　(x+z)^2 +y^2=(2-z)^2 より
　z=(4-x^2-y^2)/(2(x+2))
となるから
V1の体積は
　V1=∫∫[D] zdxdy=∫∫[D] (4-x^2-y^2)/(2(x+2))dxdy
　　=∫[0,2] S(x)dx (S(x)は図参照)
　　=∫[0,2] dx∫[0,√(4-x^2)] (4-x^2-y^2)/(2(x+2))dy
　V =4V1
　　=2∫[0,2] dx∫[0,√(4-x^2)] (4-x^2-y^2)/(x+2) dy
　　=2∫[0,2] dx/(x+2) ∫[0,√(4-x^2)] (4-x^2-y^2) dy
　　=2∫[0,2] dx/(x+2) [(4-x^2)y-(1/3)y^3][0,√(4-x^2)]
　　=2∫[0,2] dx/(x+2) [-2(x-2)^2*√(4-x^2)/3]
　　=4∫[0,2] (2-x)√(4-x^2)/3 dx
　　=4[(1/3)(4-x^2)^(1/2) +(1/9)(4-x^2)^(3/2) +(4/3)sin^-1(x/2)][0,2]
　　=8(3π-4)/9

お礼

ご回答ありがとうございます．
円錐面の方程式，重積分，逆三角関数と，中々知識を問われますね．
とりあえず，円錐面の方程式は覚えておきます．

回答No.6

kacchann

＞＃5さん

すごいですね、積分結果が。
部分積分でしょうか？
よくわからん。

---

入試問題としての解法の原則として、
「切断面に弓形が現れるような切り方はしないほうがよい」みたいです。
1対1対応の演習など参照。
けっこう受験に頻出の話題かも。
切断面図形の面積の式が簡単であれば
算出できるみたいですが。
いろいろ考えてみると面白いかも。
http://sshmathgeom.private.coocan.jp/volume/volume1.html

http://ameblo.jp/flystone-winwin/entry-11180742708.html

お礼

ご回答ありがとうございます．
z軸に垂直な平面での切り口に固執していたので，x軸，y軸に垂直な平面でも考えていきたいと思います．

回答No.5

ferien

ANo.3です。

ANo.3で、共通部分の面積を求めたので、
＞Ｓ（ｔ）＝π（２－ｔ）^2－４ｔ√（１－ｔ）－２（２－ｔ）^2・sin^-1｛ｔ／（２－ｔ）｝
これを使って、体積を求めてみました。

V=∫[0→1]S(t)dt
＝∫[0→1]［π（２－ｔ）^2－４ｔ√（１－ｔ）－２（２－ｔ）^2・sin^-1｛ｔ／（２－ｔ）｝］ｄｔ
＝∫[0→1]｛π（２－ｔ）^2｝ｄｔ－∫[0→1]｛４ｔ√（１－ｔ）｝ｄｔ
　　　　　　　　　－∫[0→1]［２（２－ｔ）^2・sin^-1｛ｔ／（２－ｔ）｝］ｄｔ

３つ目の積分は手計算ではとても無理なので、ここ↓でやってもらいました。
計算結果
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+2*%282-t%29%5E2*sin%5E-1%28t%2F%282-t%29%29dt%2C+t%3D0..1&dataset=&equal=Submit
不定積分
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+2*%282-t%29%5E2*sin%5E-1%28t%2F%282-t%29%29dt&dataset=&equal=Submit

他の２つの積分は難しくないので、結果だけ載せると
Ｖ＝（７π／３）－（１６／１５）－１.４４１６９＝４．８２２０３…
になりました。
（ANo.4さんの答えを数値化したものと、ほぼ同じになります。）

質問者さんの考え方でも、同じ結果が得られましたが、
この場合は、手計算できないところが難です。

お礼

ご回答ありがとうございます．
私も自分の解答で得られた定積分をwolfram alphaで計算してもらいましたが，とても自力で発想できるものではありませんでした．

回答No.3

ferien

ANo.2です。

解答を読んでいったら、添付図の意味が分かりました。
（１）と（２）の共通部分の面積を、積分で求めてみました。

（１）（ｘ＋ｔ）^2＋ｙ^2＝（２－ｔ）^2の部分（共通部分の右側半分）を求めます。
ｙ＝０とおくと、（ｘ＋ｔ）^2＝（２－ｔ）^2，　ｘ＋ｔ＝±（２－ｔ）
よって、ｘ＝２－２ｔ，－２で、図より、積分範囲は、０≦ｘ≦２－２ｔ
ｙ＝√｛（２－ｔ）^2－（ｘ＋ｔ）^2｝として、上半分を求めて２倍します。
さらに２倍するから、
Ｓ（ｔ）＝２×２∫［０～2-2t］√｛（２－ｔ）^2－（ｘ＋ｔ）^2｝ｄｘ
ｘ＋ｔ＝ｕとおくと、ｄｘ＝ｄｕ，０→（２－２ｔ）から、ｔ→（２－ｔ）
＝４∫［ｔ～2-t］√｛（２－ｔ）^2－ｕ^2｝ｄｕ
＝４×(1/2)［ｕ・√｛（２－ｔ）^2－ｕ^2｝＋（２－ｔ）^2・sin^-1｛ｕ／（２－ｔ）｝］［ｔ→2-t］
＝２［０＋（２－ｔ）^2・sin^-1（１）－ｔ√｛（２－ｔ）^2－ｔ^2｝
　　　　　　　　　　　　－（２－ｔ）^2・sin^-1｛ｔ／（２－ｔ）｝］
＝π（２－ｔ）^2－４ｔ√（１－ｔ）－２（２－ｔ）^2・sin^-1｛ｔ／（２－ｔ）｝

後はこれを積分すれば、体積が求められると思います。
（３項目の式が難しそうですが。。）
計算を確認してみて下さい。　間違いなどあったら教えて下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます．
逆三角関数が出てくるのは厄介ですね．一応高校数学レベルの問題なので，質問文のような解答にしたのですが…

回答No.2

ferien

問題と解答と添付図が全然噛み合っていないように思います。

問題の動く点Ｐが、解答の中では点Ｑになっていて、添付図には点Ｐも点Ｑもありません。

問題も、特に後半は意味が分からないので、もっと説明を加えた方がいいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます．
説明が不十分で申し訳ありません．点Qを登場させたのは，点Pは点Qの軌跡の内部を動くということを記述したかったためです．

回答No.1

nag0720

２つの円錐面の式は、
(x+z)^2+y^2=(2-z)^2
(x-z)^2+y^2=(2-z)^2
つまり、
z=(4-x^2-y^2)/(4+2x)
z=(4-x^2-y^2)/(4-2x)

２つの円錐の共通部分を、x=t （0≦t≦2）の平面で切断したときの面積は、
S(t)=2∫[0→√(4-t^2)](4-t^2-y^2)/(4+2t)dy
求める体積は、
V=2∫[0→2]S(t)dt

こっちのほうが楽に計算できるでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます．
円錐面の式は初めて見ましたが，勉強になりました．