式からxとyを求めたい.

質問

以下の二つの式から、xとyを求めたいのですがどうしても解けません。

(x^2)*(1-a)^2+[1+(1/2)*(r*a*x)^2]y^2 = 2*[1+(r*a*x)^2]
3*(x^2)+y^2 = 6*(1-a)

aとrは定数です.

解き方を教えてください。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#2です。
A#2の補足質問について
＞rax << 1 （r*a*x は、1より十分小さい？）
という条件がちゃんと書いてありました。
質問する場合は質問の問題を正確に書いていただかないと回答が余分なことで振り回されますのでちゃんと正確に問題を書いて下さい。

(x^2)*(1-a)^2+[1+(1/2)*(r*a*x)^2]y^2 = 2*[1+(r*a*x)^2]…(1)

rax << 1の条件をいれれば上の最初の式(1)は[]内の第二項を無視できますから
(x^2)*(1-a)^2+y^2 = 2…(1)'
となりますね。
これと2番目の式(2)
3*(x^2)+y^2 = 6*(1-a)…(2)
と連立させて解けば#3さんが書いておられるように
簡単に解けますね。
(1)'-(2)より
(x^2)*{(a^2)-2a-2}=6a-4
(a^2)-2a-2≠0より（=0とおくと6a-4≠0となり方程式が満たされない）
x^2=2(3a-2)/{(a^2)-2a-2}
(3a-2)/{(a^2)-2a-2}≧0…(3)の条件で
x=±√[2(3a-2)/{(a^2)-2a-2}]
このxを(1)'に代入してyを求めればいいですね。

(3)の条件が成り立たない時
(3a-2)/{(a^2)-2a-2}<0
は(1')と(2)（一般に共に楕円）が交点を持たない（共通解が存在しない＝虚数解しか存在しない）ことになりますね。

近似条件rax << 1が成立しない一般の場合の解については
＞-3BX^2+(A-CB-3)X-C-2=0…(4)
＞ここで、Xの二次の項がでてきて、ここからどう（X,Y)を求めていいのかわかりません。
2次方程式の根の公式でXを求め、そのXを
>3X+Y+C=0
に代入してYを求めればいいですね。
その際Xの方程式の判別式D≧0の条件…(5)を忘れないようにして下さい。
実数解（交点）をもつ条件になります。…
(X,Y)の式にA,B,Cを代入してやります。
X≧0、Y≧0の条件も追加して下さい。…(6)
(5)と(6)が実数解（交点）(x,y)が存在する条件になります。
この条件下で
x=√X,y=√Yが求まりますね。
参考までに
(X,Y)の式を書いて置きます（√内≧0、X≧0,Y≧0の条件を忘れないように）。相当長い式になりますので、問題は近似条件をつけたわけですね。
その代わり、|arx|＝1の付近,arx＞１となる場合の解(x,y)については元の方程式は解けたことになりませんね。
X=-[1/{3(ra)^2}]*[2+2a-(1+r^2)(a^2)+3(r^2)(a^3)±√{4+8a+20(r^2)(a^2)-4(a^3)-28(r^2)(a^3)+(a^4)+14(a^4)(r^2)+(r^4)(a^4)-6(r^2)(a^5)-6(r^4)(a^5)+(r^4)(a^6)}]
Y=-{1/(ra)^2}[(-2-2a+(a^2)-5(r^2)(a^2)+3(r^2)(a^3)±√{4+8a+20(r^2)(a^2)-4(a^3)-28(r^2)(a^3)+(a^4)+14(a^4)(r^2)+(r^4)(a^4)-6(r^2)(a^5)-6(r^4)(a^5)+(r^4)(a^6)}]
(複合同順)

お礼

>質問する場合は質問の問題を正確に書いていただかないと回答が余分なことで振り回されますのでちゃんと正確に問題を書いて下さい。

せっかく回答いただけたのに不足があったこと、本当に申し訳ないです。
以後、気をつけます。

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みなさん、こんな私のために回答ありがとうございました。
おかげで、本にあるとおりの答えを導きだすことができました。

また、困ったときは質問するかもしれませんが、そのときはまたよろしくお願いします。

回答No.3

kkkk2222

rax << 1 であれば、

((1-a)^2)(x^2)+(y^2)=2
3(x^2)+(y^2) = 6(1-a)　と　連立方程式になってしまうので、

((1-a)^2)(x^2)+(y^2)=2
　　　　　3(x^2)+(y^2)=6(1-a)

　＜　( ((1-a)^2)-3 )(x^2)=6a-4　＞

3((1-a)^2)(x^2)　　+　　　3(y^2)=6
3((1-a)^2)(x^2)+((1-a)^2)(y^2)=6((1-a)^3)

＜　( ((1-a)^2)-3 )(y^2)=6( ((1-a)^3)-1 )　＞

と解けてしまうので、不思議です。
最初の式を読み違えているか、
式の扱い方を誤まっている気がしてなりません。

回答No.2

info22

x,yは2乗の形で入っているので
X=x^2, Y=y^2　(X≧0,Y≧0)
とおく。
定数の式が煩雑なので
A={(1-a)^2}-2(ra)^2
B=(1/2)(ar)^2
C=6(a-1)
とおくと
AX+Y+BXY-2=0
3X+Y+C=0
という簡単な連立方程式になります。
この連立方程式を解いて
（X,Y)を求め、
求めた式にA,B,Cの式を代入します。
X≧0,Y≧0なる条件を満たすようなa,rの条件を調べる。
a,rの条件が満たされる条件下で
x=√X, y=√Y
を求める。
といった方法で解けばいいかと思います。

やってみた結果を補足に書いて下さい。

お礼

回答、ありがとうございます。

もしかして、この計算ってとんでもなく簡単なのでは？？と思い、誰かにきくのが恥ずかしくて一人で解決しようとしてましたが、とうとう行き詰まってしまいました。

今回、ある非線形物理の本を人から勧められて、ずっと計算を自分で確認しながら読んできたのですが、改めて数学の基礎がきちんと成っていなかったことをかなり痛感しました。

とりあえず、この計算をまたがんばってみます。

補足

>AX+Y+BXY-2=0
>3X+Y+C=0
>という簡単な連立方程式になります。

ここまでは導けました。このあと、
3X+Y+C=0 を Y=-3X-C
と置き換えて、AX+Y+BXY-2=0 に代入すると、
-3BX^2+(A-CB-3)X-C-2=0
という形になります。
ここで、Xの二次の項がでてきて、ここからどう（X,Y)を求めていいのかわかりません。

あと、さっきもう一度、本を読み直したら、
rax << 1 （r*a*x は、1より十分小さい？）
という条件がちゃんと書いてありました。

回答No.1

koko_u_

x^2 = X, y^2 = Y と置いて、Y = 6(1-a) - 3X を最初の式に代入してチマチマ計算するだけじゃないの？

いつ実数解を持つかを考えると、面倒そう。

お礼

最近、こういった計算をしてないので、もしかして、すごく馬鹿な質問をしているのでは？？？と思ってたのですが。
koko_u_さんのいうように、x^2=Xというような形にして、代入法でといても、今度はX^2という項が出てきてうまくまとめられないような気がします・・・。

とりあえずやってみます。
回答ありがとうございました。