「a(x^2)+b(y^2)+cxy+dx+ey+f」について

質問

「(px+qy+r)(sx+ty+u)」は展開すると
「ps(x^2)+qt(y^2)+(pt+qs)xy+(pu+rs)x+(qu+rt)y+ur」
となり、「a(x^2)+b(y^2)+cxy+dx+ey+f」の形に表せます。

しかし逆に「a(x^2)+b(y^2)+cxy+dx+ey+f」は必ずしも
「(px+qy+r)(sx+ty+u)」の形にはできません。

「a(x^2)+b(y^2)+cxy+dx+ey+f」が「(px+qy+r)(sx+ty+u)」の形に変形できるための必要十分条件を求めたいのですが、

係数比較では
a＝ps,b＝qt,c＝(pt+qs),d＝(pu+rs),e＝(qu+rt),f＝ur
となり、文字が多すぎて難しいです。

何かよい方法はないでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.2

alice_38 · ベストアンサー

二次式の標準形を使う。

ax~2+by~2+cxy+dx+ey+f の式に
x = X+u, y = Y+v を代入して、
u, v をウマイ値に設定すると、
式は、AX~2+BY~2+CXY+F と
一次項の無い形になる。
A, B, C, F は、定数で、
a, b, c, d, e, f から計算できる。

この形を見れば、二次式が一次式の積に
分解できる条件は、F = 0 かつ B~2-4AC ≧ 0
であることが解る。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

>B~2-4AC ≧ 0
この式は多分「C^2-4BA≧0・・・(1)」の書き間違いで
判別式からきてるんですよね？

そして「C^2-4BA」は二次式の標準形が楕円型か双曲線型か放物線型か
を判別する式ですよね？

これは偶然の一致なんでしょうか？
とても気になってます・・・

回答No.4

alice_38

♯2 です。
間違いに関して、御指摘のとおりです。
普段は、項を AX~2+CXY+BY~2 の順で書くため、
つい、やらかしてしまいました。恐縮です。

二次曲線の分類との関係については…

判別式が正の場合は、双曲型にあたります。
A,B,C によって漸近線が決まり、
F の符号によって、
双曲線が漸近線のどちら側にあるかが、
F の絶対値によって、
双曲線が漸近線からどれだけ離れているかが
決まります。
F = 0 の場合は、双曲線が退化して、
漸近線と一致するのです。

お礼

御返答どうもありがとうございます。

なるほど。
「AX~2+BY~2+CXY+F」は「B^2-4AC>0」で双曲線であり、F＝0で双曲線が
漸近線（２直線）に退化し、２直線であればその判別式が０より大きいのは明らか。
一方「B^2-4AC＝0」なら放物線であり、F＝0で１直線（重解）に退化し、逆に１直線であればその判別式が０になる。
そしてその２つを足し合わせたものがNo.2の解になるのですね。

お陰でとても理解が深まりました。
この度は本当にどうもありがとうございました。

回答No.3

kabaokaba

＞(x-f(y))(x-g(y))
＞とすればおしまいです。
＞すべて上のように変形できます。因数分解を実数範囲でやるか虚数範囲までやるかだけの違いです。

話を全部「複素数」で考えても
f(y)がyの多項式になる保証はないので
それほどシンプルではないです．
たとえば x^2+xy+y^2+y なんかはどうだろうかな．

本筋は#2さんご指摘の二次曲線・二次形式の議論でしょうね．
線型代数の初歩的な知識を組み合わせて
すべて分類されてます．

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

説明不足ですみませんでした。
a,b,c,d,p,q,r,s,t,uの文字は全て実数としてください。

>f(y)がyの多項式になる保証はないので
そうですね。
逆にf(y),g(y)がxの実係数多項式になる条件こそが題意の条件になりそうな感じです。
(1)f(y),g(y)が実係数の式⇔F(x)の判別式D≧0
(2)f(y),g(y)がルートを含まない⇔Dの判別式＝0
と考えました。
なんだかNo.2さんと同じ結果になりそうな感じです。

どうもありがとうございました。

回答No.1

spring135

これはax^2+bx+cを因数分解するのと全く同じで、
ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f＝0とおき、
ｘのみの２次式とみてx=f(y),x=g(y)をもとめ
(x-f(y))(x-g(y))
とすればおしまいです。
すべて上のように変形できます。因数分解を実数範囲でやるか虚数範囲までやるかだけの違いです。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

いろいろ説明不足ですみませんでした。
a,b,c,d,p,q,r,s,t,uの文字は全て実数を想定しておりました。
そのようにお考えください。

f(y),g(y)がxの実係数多項式になる条件を求めれば解決しそうな感じですね。
F(x)＝ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f として
(1)f(y),g(y)が実係数の式⇔F(x)の判別式D≧0
(2)f(y),g(y)がルートを含まない⇔Dの判別式＝0

確認はできていないのですが、No.2さんの回答と同じ結果になりそうな気がします。

どうもありがとうございました。