曲線の長さについて

質問

x^(1/2) + y^(1/2) = 1

この曲線の長さはどのように求めたらいいでしょうか？
媒介表示をしようとして
x=(cos2t)^4
y=(sin2t)^4
としたとき,

公式ｓ=∫　(　(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 )^(1/2) dt

で計算しようとしてもうまく積分ができず困ってます。どなたか教えてください。お願いします。

回答No.2

kougakubudesu · ベストアンサー

＞∫√(x^２+a^２)dx (A)
＞＝∫(t^2+a^2/2t)*(t^2+a^2/2t^2)dt + C

＞となってるんですが、これはどういうことですか？

少し形が違います。この積分は少しコツがいるので、ぜひ覚えて下さい。以下のように置換します。
　　t=x+√(x^２+a^２) (B)
すると
t-x=√(x^２+a^２)
両辺二乗すると根号がはずせるので
　　t^２-２tx+x^２=x^２+a^２
xについて解くと
x=(t-a^２/t)/２⇒dx={(1+a^２/t^２)/２}dt
xを(B)に代入すると (√(x^２+a^２)のxには代入しない)
√(x^２+a^２)=t-(t-a^２/t)/２=(t+a^２/t)/２
これとdxを(A)に代入すれば

(１/４)∫(t+a^２/t)*(1+a^２/t^２)dt
=(１/４)∫(t+２a^２/t+a^４/t^３)dt
={t^２/２+２a^２lnt-a^４/(２t^２)}/４+Ｃ　(Ｃは積分定数)
={(t^４-a^４)/(２t^２)+２a^２lnt}/４+Ｃ

となりますね。ここでxにもどしますが先に以下の計算をして

t^２=２x^２+a^２+２x√(x^２+a^２) (Ｃ)
⇒t^４=(t^２)^２=(２x^２+a^２)^２+２×２x√(x^２+a^２)(２x^２+a^２)+４x^２(x^２+a^２)
⇔ t^４-a^４=８x^２(x^２+a^２)+４x√(x^２+a^２)(２x^２+a^２)
=４x√(x^２+a^２){２x^２+a^２+２x√(x^２+a^２)} (Ｄ)

となるので(Ｃ),(Ｄ)を代入すると

[x√(x^２+a^２)+a^２ln{x+√(x^２+a^２)}]/２+Ｃ
となります。

　もっと一般にR(x,y)をx,yの有理関数とすると
∫R(x,√(ax^２+bx+c)dx
の積分はb^２-4ac<０の場合t=(√a)x+√(ax^２+bx+c)
とおくとtの有理関数の積分にできます。

お礼

わかり易い説明ありがとうございました。
納得しました。

回答No.3

pyon1956

これ、式変形するとx^2+y^2-2xy-2x-2y+1=0
になりますよね？判別式からこの2次曲線は放物線です。
放物線とわかれば、45度回転した図形をさらに平行移動してやりましょう。実際は一次変換などせずに直線y=xとの距離などをグラフから求めてやればいいので。
で、y=ax^2の形にして、そこでおもむろに積分しましょう。ちなみに
∫√{1+(dy/dx)^2}dxで。

回答No.1

kougakubudesu

媒介変数を三角関数にすると、僕にはできなかったので別の媒介変数にしました。次に思いつく媒介変数表示は
x=t^２ (t>０)⇒dx/dt=２t
でしょうか。よって
y=(1-√x)^２=(1-t)^２⇒dy/dt=２(t-1)
となります。xの定義域は０≦x≦1より,０≦t≦1となります。よって曲線の長さをlとすると
l=∫{０,１}√((dx/dt)^２+(dy/dt)^２)dt
=４∫{０,１}√(２t^２-２t+1)dt
=４√２∫{０,１}√{(t-1/２)^２+1/４}dt

ここで一般に√(x^２+a^２)の不定積分は
[x√(x^２+a^２)+a^２ln{x+√(x^２+a^２)}]/２+Ｃ
より,上はこの形なので積分できます。

補足

ありがとうございます。
媒介変数表示を
x=t^２ (t>０)
として
√(x^２+a^２)
＝[x√(x^２+a^２)+a^２ln{x+√(x^２　+a^２)}]/２+Ｃ
と公式を使えば解けました。
しかし、この公式がよくわかりません。参考書で調べると、

∫√(x^２+a^２)dx
＝∫(t^2+a^2/2t)*(t^2+a^2/2t^2)dt + C

となってるんですが、これはどういうことですか？