軌跡のもんだい

質問

mの値が変化するときｍｘ－ｙ＋５ｍ＝０ とｘ＋ｍｙ－５の交点Ｐの軌跡 をもとめよ

この問題でなぜ、ｙ＝０とｙ≠０のふたつで場合わけするんですか

回答No.12

ferien · ベストアンサー

ＡNo.1です。ANo.10さん

＞(-5,0) (5,0)を除いた部分「全部をきちんと通る」ことの議論はきちんとしていますか？
その点について、ANo.8で説明されているのならそれでいいと思います。
ただｍ≠０のときに、（５，０）は軌跡とはならないので、そこが違うなと思ったので、
ANo.9のように回答しただけです。

ｍ＝０なら、ｙ＝０，ｍ≠０なら、ｙ≠０が自動的に成り立つらしいので、
質問者さんの手元の解答が、ｍ＝０とｍ≠０でなく、
＞なぜ、ｙ＝０とｙ≠０のふたつで場合わけするんですか
のほうに興味があります。
（だから、質問者さんからの返事待ちです。）

回答No.11

tmpname

つまり、mを消してx,yの関係を出すのはいいですが、例えばその式に適当なものを掛けても等号はまだ成立しているので、例え「y≠0且つ」とかいうのを付け加えたとしても別にmを消して作ったx,yの関係式「全部の部分を通る」とは限らない訳です。

回答No.10

tmpname

No9さん

2直線の交点のうちｙ≠０である所の部分はx^2＋y^2＝5^2の内(-5,0) (5,0)を除いた部分「の内どこか」であることはいいですが、(-5,0) (5,0)を除いた部分「全部をきちんと通る」ことの議論はきちんとしていますか？

回答No.9

ferien

ＡNo.1です。ANo.5です。

ｙ＝０とｙ≠０での場合分けは、多分、質問者さんの手元の解答が
そのようになっているのだと思います。

ｍ＝０とｍ≠０に場合分けも考えて見ましたが、
ｙ＝０のとき、ｍ＝０ならば、（５，０）は交点Ｐ，ｍ≠０ならば、交点にはなりません。
（－５，０）は、ｍの値が何であっても交点にはなりません。

ｙ≠０のときは、軌跡の中から、（－５，０）（５，０）の点を除くことになるので、
ｘ≠５になり、このときは、必ずｍ≠０になります。（ｍ＝（５－ｘ）／ｙなので）

ｍ≠０のとき、（５，０）（－５，０）を除くx^2＋ｙ^2＝５^2の部分
ｍ＝０のとき、（自動的にｙ＝０になる）（５，０）、
なので、
結局、ｙ＝０とｙ≠０の場合分けと同じだと思います。

回答No.8

tmpname

というか、そうじゃないでしょ。

「mを動かした時」2直線の交点がどうなるかを調べるのだから、
普通は
1. 先ずmを固定して、2直線の交点を求める
2. 次にmを動かして、交点がどう動くのかを調べる
という手筈でないと本来はおかしい。

で、この順にきちんと解くと、
1.
「mを固定した時」2直線は m(x+5) - y = 0, (x-5) + my = 0なのだから、交点はNo.6さんの通り
1.a m=0の時 (x,y) = (5,0)
1.b m≠0の時 (x,y) = (5*(1-m^2)/(1+m^2), 10m / (1+m^2)) - (A)
となる。で、実際は(A)でm=0とおくと(5,0)になるから、1.aは1.bでm=0の時と
まとめてしまってよい。

2.で、ここで「mを動かす」。
ここで突如m=tan(a/2) - (B)としてaを導入すると、mを「動かした時」
- aは -π < a < πの範囲で動き、(C)
- m=tan(a/2)となるaは与えられたmに対してただ一つ定まること
- よってmとaとはm=tan(a/2)という式によって1対1に対応すること
に注目する。そこで(A)でm=tan(a/2)とおくと、
(x,y) = (5*cos(a), 5*sin(a))となる。aは(C)の範囲で動くのだから、
1.bでmを動かすと、(A)はx^2 + y^2 = 25且つ(x,y)≠(-5,0)の範囲で動く

よって、交点はx^2 + y^2 = 25, 但し(x,y)≠(-5,0)の軌跡を
描く

という風に解けば混乱はないし、論理的にも不安が無いです。
因みに突如(B)という式が出てきたのは、mとaの図形的な意味を
考えれば出てきます。

回答No.7

ferien

ANo.1です。交点Ｐの軌跡について

ｙ＝０とｙ≠０の場合分けを生かしてまとめれば、
ｙ＝０のとき、ｍ＝０であれば、（５，０）
ｙ≠０のとき、ｘ^2＋ｙ^2＝５^2　ただし、（５，０）（－５，０）を除く。

であれば、少しは納得できます。
あとは、質問者さんの判断に任せます。

回答No.6

MagicianKuma

No5さんへ＞
何か勘違いされています。mをある一つの値にしたとき、交点が一つ決まるのです。mをある値にしたとき、交点の軌跡ができるわけではありません。
mを動かすからそれに従って交点が動き軌跡を作るのです。m=0のときの交点が(5,0)。m≠0のときは当然別の交点を持ちます。
P(x,y)=(5(1-m^2)/(1+m^2),10m/(1+m^2))　となるのです。
因みにy=0,y≠0の場合分けは出た答えが妥当かどうかの確認に必要ですが、同じ意味でx=-5,x≠-5の時の場合分けも必要です。

回答No.5

ferien

ANo.1です。

（ｘ，ｙ）＝（５，０）は、ｍ＝０のときだけ、２つの直線の式に代入しも両方とも等式が成り立つので、交点Ｐと考えてもいいですが、ｍ≠０のときは、交点Ｐにはなりません。
（ｘ，ｙ）＝（－５，０）は、代入しても２つの直線の等式を同時に満たさないので、交点Ｐにはなりません。
ここでは、ｙ＝０とｙ≠０の場合分けが問題になっているので、
ｍ＝０のときは、ｙは自動的にｙ＝０になってしまうので、その場合ｙの場合分けの意味がないような気がします。
必ずしも交点になるとは限らない（５，０）を軌跡の中に含めるのは、違うような気がします。

回答No.4

MagicianKuma

(5,0)は軌跡に含まれますよ。m=0のとき、y=0,x=5は交点(5,0)を持ちます。
この点はx^2+y^2=5^2　上の点でもあります。(-5,0)も円周上にありますが、こちらは含みません。

回答No.3

ferien

ANo.1です。　追加です。

ｙ≠０のときの軌跡がｘ^2＋ｙ^2＝５^2なので、ｙ＝０になる点
（５，０）と（－５，０）を除きます。

回答No.2

MagicianKuma

No1さんの回答に追加して、
mx-y+5m=0　の式を変形すると　m(x+5)-y=0　となるので、x=-5の時の挙動も調べる必要があると思います。
x=-5の時、式(1)(2)は　-y=0, my-10=0となり、両方みたすyはありません。
逆に、y=0のときはx=5で式をみたします。交点P(x,y)の軌跡はx^2+y^2=5^2ですが、(5,0)は含みますが、(-5,0)は含みません。
|m|→∞ 時　(x,y)→(-5,0)に限りなく近づきます。