代数学 恒等式

質問

２つの連続する整数ｍ,ｎの平方数の間にある、ある整数をＮとして、Ｘ＝Ｎ－ｍ^2　Ｙ＝ｎ^2ーＮとするとき、Ｎ－ＸＹが平方数であるという証明をしたいのですが、ｎをｍ+１として、ｍ＜Ｎ＜ｍ^2+2ｍ+1としてＮ－ＸＹを平方完成しようとしてみたのですが、どうしてもうまくいきません。教えていただけたら助かります。
よろしくお願いします。

回答No.1

pyon1956 · ベストアンサー

N-XY=N-(N-m^2){(m+1)^2-N}=N+(N-m^2){N-(m+1)^2}
これは、
N+[N^2-{m^2+(m+1)^2}N+m^2(m+1)^2]=N^2-2m(m+1)+m^2(m+1)^2={N-m(m+1)}^2
これで平方完成してます。