数学の問題

質問

学校で分からない問題があって、分かる人は教えてくれませんか？
お願い

x＋3が最大公約数で、x＾5＋ｘ＾4－9ｘ＾3ーx＾2＋20x－12が最小公倍数となるようなｘ＾3の係数が1の相異なる３次式を３つ求めて、答えは因数分解の形です。

みなさんお願いします。

回答No.2

fushigichan

pami97さん、こんにちは。
＞x＋3が最大公約数で、x＾5＋ｘ＾4－9ｘ＾3ーx＾2＋20x－12が最小公倍数となるようなｘ＾3の係数が1の相異なる３次式を３つ求めて、答えは因数分解の形です。

まず、f(x)=x＾5＋ｘ＾4－9ｘ＾3ーx＾2＋20x－12
と、おきます。
ｘの中に適当な数字をあてはめて、見当をつけましょう。

ｘ＝２のとき、ｆ（２）＝０よりｆ（ｘ）は（ｘ－２）を因数に持つ。
ｘ＝－２のときｆ（－２）＝０よりｆ（ｘ）は（ｘ＋２）も因数に持つ。
ｘ＝１のときｆ（１）＝０より、ｆ（ｘ）は（ｘ－１）も因数に持つ。
最大公約数が（ｘ＋３）なのでｆ（－３）＝０となっている。

さて、実際に、x＾5＋ｘ＾4－9ｘ＾3ーx＾2＋20x－12を割り算していきましょう。
f(x)=(x+3)(x-2)(x-1)^2(x+2)
という形に因数分解できました。

このとき、ｘ＾３の係数が１である相異なる３つの３次式は
(x+3)(x-1)(x-1)
(x+3)(x-1)(x+2)または(x+3)(x-1)(x-2)
(x+3)(x+2)(x-2)

となると思います。

回答No.1

ADEMU

最小公倍数の式を因数分解すれば全て解決します。
まず、Ｘ＋３が最大公約数なのでこれで割ります。
（Ｘ＋３）（Ｘ＾４－２Ｘ＾３－３Ｘ＾２＋８Ｘ－４）となります。
更に因数分解をしていくと結果的に以下の式になります。
（Ｘ＋３）（Ｘ－２）＾２（Ｘ＋１）＾２
３次式ということで
（Ｘ＋３）（Ｘ－２）＾２
（Ｘ＋３）（Ｘ＋１）＾２
（Ｘ＋３）（Ｘ－２）（Ｘ＋１）
の３種類が導きだせます。
この問題のポイントはいかに因数分解するかにありますが、たいていは上記のような簡単な式になるので０次の項の数字に注目して適当な式で計算してみることです。

補足

>まず、Ｘ＋３が最大公約数なのでこれで割ります。
はどのように判断するのでしょうか？
教えてください