数学IIIの問題です('▽'*)ニパッ♪No.２

質問

【問題】
0<a<1とする。方程式a(sin(x))=x^2の０以外の解をm(a)とする。
lim[a→+0]{m(a)},lim[a→+0]{m(a)/a}を求めよ。

よろしくお願いします＾＾；
どうしたらよいのかわかりません＾＾；

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

後半の m(a)/a= sin(m(a))/m(a)→ 1ってのは検討つくかと思います（？）
ただし、これを導くには前半の m(a)→ 0（a→ +0）が示されないといけません。

#1さんのヒントに少し（厚めの？）肉付けを。

m(a)≠0ですので、m(a)は 2つのグラフ：f(x)= x^2/sin(x)と y= aの交点の x座標として与えられることになります。
そして、aを 0に近づける(＝ x軸に近づけていく！)と、交点は原点に近づきますよね！
ということを示そうとしています。

＞ f(x)が少なくとも0<x<1では単調増加で

意外とこの一文が深いです。
・なんで 0＜ x＜ 1？
・単調増加であれば、なぜＯＫ？

まず、0＜ x＜ 1 すなわち 0＜ m(a)＜ 1であることを示します。

a* sin(m(a))= { m(a) }^2において、
0＜ a＜ 1, -1≦ sin(m(a))≦ 1より -1＜ a* sin(m(a))＜ 1
（⇒ 左辺は -1～1の間の値をとる）

{ m(a) }^2＞ 0だから、0＜ { m(a) }^2＜ 1 …(1)
（⇒ 右辺は 2乗の数だから正。よって、右辺は 0～1の間の値をとる）

また、sin(m(a))= { m(a) }^2/a＞ 0より、m(a)＞ 0 …(2)
（⇒ sinθ＞ 0であれば、角度θは正である。m(a)は角度になっている）

(1), (2)より、0＜ m(a)＜ 1

ということがわかります。

「単調増加」については、次のようなことを考えています。

この区間 0＜ x＜ 1において f(0)= 0および f(x)が単調増加であることが示されれば、
a→ 0とすると交点の x座標（すなわち、m(a)）が 0に近づいていくことがわかります。

最後に、問題文の極限で「a→ +0」と右極限をとっているのは、0＜ aだからというだけですね＾＾

お礼

いつもいつもありがとうございます！！
助かります（・∀・）

回答No.1

f272

それではヒントだけ。
f(x)=x^2/sin(x)とする。
m(a)はf(x)=aの解である。
(1)
f(x)が少なくとも0<x<1では単調増加でlim[x→+0]{f(x)}=0であることを確認する
(2)
f(m(a))=m(a)^2/sin(m(a))=a
を
m(a)/a=sin(m(a))/m(a)
に変形する。

お礼

ありがとうございました('▽'*)ニパッ♪