極限の計算

質問

[{1+(n+1)^c}/n^c]^n → ∞(0<c<1),e^c(c>1)
となる理由が分かりません。
どなたか分かる方がいらっしゃいましたら教えて頂けないでしょうか(>_<)

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

分母・分子を nで割って、とも考えたのですが。

n+ 1= tとおきます。すると、n= t- 1、t→∞（n→∞のとき）となります。

分数が続くので、添付のように書いてみました。
それぞれの計算過程は次の通りです。

1行目：分母・分子を t^cで割っています。
2行目：「t- 1乗」の「-1乗」を前に出しています。
3行目：「t乗」の分母を「-t乗」として分けています。

ここまできたところで、

1項目の分数は、t→∞で 1に収束します。
2項目は、0＜ c＜ 1と 1＜ cで収束値が変わります。
3項目は、(1- 1/t)^(-t)→ e（t→∞）が示されていれば、e^cに収束することがわかります。
この収束を別途示す必要があるのか、無条件で用いていいのかが一つポイントだと思います。

回答No.4

naniwacchi

何度もすみません。
添付の中で間違いがありました。

#3の回答の添付で、(1項目)の収束値は、∞ではなく 1です。

ちなみに、c= 1のときですが、元の式に立ち返れば

(与式)
= { (n+2)/n }^n
= (1+ 2/n)^n
= (1+ 1/m)^(2m) （2/n= 1/mとおく）
→ e^2

となります。

お礼

何から何まで事細かにありがとうございますm(_ _)m

全く方針が掴めなかったので本当に助かりました。ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.3

naniwacchi

#1(#2)です。

少しベタな方法ですが、2項目の計算方法を考えました。
二項定理で一度式を展開してから、極限を考えるという内容です。

「１，２，３項目」とは、最終行の式で「・」で区切られている３つを指しています。
表現足らずですみません。
添付にそれぞれの収束の計算過程を書いてみました。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

少し気になったので、追記します。
「2項目」ですが、単純に収束がどうなるかがわからないような気もしています。

別の方法もあるかもしれません。
また、わかったら追記したいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございますm(_ _)m
１，２，３項目が＝で結ばれているのですが、
＝で結ばれているのに、項によって収束値が異なって良いのでしょうか？