定積分の問題

質問

∫{tS(t)-S(t)}dt＜０を示せ。
積分区間は０≦t≦１、この区間ではS(t)＞０である。

この問題って難しいんでしょうか？それとも簡単？

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

盲点に陥らなければ、簡単な部類だと思います。

∫[0→1] { t* S(t)-S(t) }dt
= ∫[0→1] (t-1)* S(t) dt

0≦ t≦ 1における (t-1)* S(t)のグラフを考えると
t-1≦ 0, S(t)＞ 0より (t-1)* S(t)≦ 0
すなわち、グラフは t軸（横軸）よりも下になります。
よって、求める積分は負であることがわかります。

グラフを描いてみると、わかりやすいと思います。