√144の符号

質問

一般に√144＝12で√144＝-12では無い事になっていますが、
√144＝√((+12)^2)=√((-12)^2)=±12
と考えると√144＝-12も間違いでは無い様に思えます。
√(a^2)=√((+a)^2)=√((-a)^2)=±a
∴√(a^2)=a　※√内をｘとするとx>=0
数式展開でルール違反が有るのか、考え方で間違いの個所
が分かりません。
宜しくお願い致します。

回答No.13

kony0 · ベストアンサー

すでに意見が出ているとおりなのですが、
「√(x^2)=x」は常に正しい式か？という○×問題を、中３に√を教える数学の先生は出してあげなくてはなりません。（高校入試でも毎年どこかで出てそうな問題かも？）

数学では「物事が正しいことを示すには、正しいことを証明しないといけない。間違っている場合には、反例を示せばよい。」ということのようです。（この辺の内容は、高校の「命題」関係のお話になります。）

今回の問題では、x=-12は、まさに「√(x^2)=x」の反例にあたります。

反例があるのなら、この式変形は正しくない、すなわち「数式展開でルール違反が有る」と言わざるをえません。

ちなみに、これは割り切りでもなんでもないですよ。

お礼

真摯なご回答ありがとうございます。
　No10でaを実際に代入する値としますと、√((-a)^2)=a
と云う事でほぼ 理解できました。
　ただNo9の考え方でアプローチした時どうしても
実際の値が後で与えられるため、y=f(x)=xとしてから
計算すると符号が判別できません。
　y=f(x)=√(x^2)=xのままy=f(x)の中身√(x^2)=を残し
て置いてxに実際の値を入れるとき符号を判別しなければ
ならない為、代数的にすっきりしません。
　ご回答に"「√(x^2)=x」は常に正しい式か？という○×
問題を、中３に√を教える数学の先生は出してあげなくてはなりません。"とありましたが、この言葉を聞きたくて
ここ(No13)まで来た様に思います。
　ほんとうにありがとうございました。

回答No.12

noname#24477

誤解の原因は

＞正のほうを　√a　負の方を　-√a　と書く。

の中の「正のほう」、「負のほう」という言葉についてでしょう。

√（ｘ＾２）に対しｘを「正のほう」、－ｘを「負のほう」
と思い込んで居られるのではないかと思われます。

「文字」については必ずしもマイナスがついているほうが
「負のほう」とは限りません。
ｘに具体的な数字が入って初めて正のほう、負のほうが決まります。
ちょっとくどくなりました。私はこれで退場させていただきます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
　ojamanboさんのNo10で√((-a)^2)=aと云う事でほぼ
理解できました。
　"√（ｘ＾２）に対しｘを「正のほう」、－ｘを「負のほう」と思い込んで居られるのではないかと思われます"
と有りますが、そうではない事はNo9の補足でお分かり
かと思います。
　ただごのNo9の考え方でアプローチした時どうしても
実際の値が後で与えられるため、y=f(x)=xとしてから
計算すると符号が判別できません。
　y=f(x)=√(x^2)=xのままy=f(x)の中身√(x^2)=を残し
て置いてxに実際の値を入れるとき符号を判別しなければ
ならない為、代数的にすっきりしません。
　ともあれ、問題の個所がほぼ理解できました。
ほんとうにありがとうございました。

回答No.11

siegmund

siegmund です．

私も waseda2003 さんの
> ひょっとしたら，√は「平方する前の元に戻す」記号だと誤解されているのではないでしょうか？
> No.6の補足を読んでも何かしらの誤解があるように見受けられます。
と同様の感じを受けます

特に
> つまり
> 　　√の中身は２乗の結果として正であり、２乗する前の
> 　　符号を限定する約束はどこにも見当たりません。
のあたり．

144 は単に 144 だけの意味しか持っていません．
144 の起源が (12)^2 か (-12)^2 か，あるいは (13)^2 - 5^2 か，などの
「過去の履歴」を引きずってはいけません．

お礼

ご回答ありがとうございます。
つまり
　√((-a)^2)=a
ということですね

回答No.10

noname#24477

√ｘ＾２＝ｘ　が間違い。（これは２乗が外についている場合には成り立ちます。）
ルートの約束はそうではありません。
ルートの定義は次のようになります。

ｘ＞０のときは√ｘ＾２＝ｘ
ｘ＜０のときは√ｘ＾２＝－ｘ　（ここが大事です）
たとえば　ｘ＝－５　であれば
√（－５）＾２＝－（－５）です。すなわち５

文字に付けたマイナスと数字につけたマイナスでは意味が
違います。誤解の無いように。

文字に付けたマイナスは符号を逆転させるという意味です。

補足ですがこれは絶対値　｜ｘ｜　の定義と一致します。

お礼

ご回答ありがとうございます。
　ｘ＜０のときは√ｘ＾２＝－ｘ　（ここが大事です）
　√（－５）＾２＝－（－５）です。すなわち５
で
　x=-5、y=x^2=(-5)x(-5)=25
√x^2は√(x^2)とさせて頂きます(２乗が√の中)
　√(x^2)=√y=√25=5
ということですね
つまり
　√((-a)^2)=a
ということですね
ありがとうございました。

回答No.9

waseda2003

No.3で回答した者です。

> 記号 √ は，正の平方根を表すと定めたものです
> ので144の平方根は±√144であり、当質問もその
> 内+√144を問題にしていますが、"だから√144
> ≠-12" に付いては飛躍が有り、なぜそうなる
> かを数式で説明できないかをお伺いしております。

ご自身で書かれた文章が矛盾していることにお気づきでしょうか。
144の正の平方根は12，負の平方根は-12ですから，√144を正の平方根としているなら "だから√144≠-12" については何の飛躍もありません。

ひょっとしたら，√は「平方する前の元に戻す」記号だと誤解されているのではないでしょうか？
No.6の補足を読んでも何かしらの誤解があるように見受けられます。

くり返しになりますが，「記号 √ は正の平方根を表すと定めたもの」です。このルールを認めない，もしくは誤解しているとなると，混乱が深まってしまいます。

お礼

再度ご回答ありがとうございました。
補足の内容がどうしても納得いきません。
宜しくお願い致します。

補足

すみません、どこかに間違いがあると思うのですが、
次の様にご説明するとどうなるでしょうか。
144の負の平方根は-√144、正の平方根は+√144ですが
(±は√の外に注意)、その内正の平方根+√144の√の
中身の符号について考え方を示す為、正の平方根+√144
を次の様にして解くと・・・
　　y=f(x)=√(x^2)=x・・・(1)
∴(x^2)の正の平方根yは
　　　　y=f(x)=x
　　x=-12の場合y=f(x)=-12となり、
　　 　144=((-12)^2)の正の平方根+√144は
　　 　+√144=y=f(x)=√(x^2)=x=-12
　　x=+12の場合y=f(x)=+12となり、
　　　 144=((+12)^2)の正の平方根+√144は
　　 　+√144=y=f(x)=√(x^2)=x=+12
　　で144=((+12)^2)の正の平方根+√144
は±両方成り立ってしまいます
(1)の様にf(x)=√(x^2)=xとして、xの値が後から与えら
れる為、代数的に解くときxは＋か－か分からずf(x)=xと
して解き、利用すると思います。
この場合)(1)の√(x^2)=xが間違いかが問題となると思いむますが・・・

回答No.8

mirage70

もっと単純に考えればよいのではないですか?
12^2＝144 , (-12)^2＝144　よって12^2=(-12)^2は
成立する。

√(144)＝12 , √(144)＝-12が成立するならば、
12＝-12が成立することになります。
12≠-12より、±を取ったことにより矛盾が生じます。
有理数、無理数が、数直線上でどのようになっているかを、見れば良いのではないですか?
答えはわかっていながらの質問と思われます。

お礼

ありがとうございました。

補足

分かりやすいご説明ありがとうございました。
√に付いて中学３年の教科書では次の様になっています。
　　aが正の数であるとき、aの２つの平方根のうち
　　正のほうを　√a　負の方を　-√a　と書く。
この記号√を根号といい、√aは「ルートa」と読む。
これだけですと中学３年の力量で
　　√144＝√((+12)^2)=√((-12)^2)=±12
と考えた時何処が間違いか判断できません(割り切って
そういうものだとしてしまえば簡単なのですが、他補足
投稿のような迷いが出ますし、割り切らずにどうしてか
を探り出し、明快な裏付けを取る事は、数学を学ぶ上で
重要な事だと思います)。
教科書の説明でmirage70さんの
　√(144)＝12 , √(144)＝-12が成立するならば、
　12＝-12が成立することになり、
　12≠-12より、矛盾が生じます。
の様な説明に加えwaseda2003さんsegmundさんが言
われていた
　・√の約束は，
　　「２乗して√の中身(正数としておきます)になる数
　　(２つある)のうち， 正のものをあらわす」
や
　・√(a^2)=|a|
等を但し書きとして明記が必要なのかもしれません。

ただ、ojyamanboさんの所で補足投稿いたしましたが、
"ご回答の√（－１２）＾２＝－１２　がまちがい"
に付いて
　　x=-12として
　　√(x^2)=x=-12・・・(1)
　　の様に(1)をｘの関数として利用する場合
　　√の中を先に計算しても答えは－になります。
　　数式展開の何処に問題が有るか教えてください。
が解決しておらず、(1)をｘの関数とし利用する時
f(x)=√(x^2)=xとして、xが後から与えられる為
代数的に解くときxは＋か－か分からずf(x)=xとして
利用すると思います。
　　√144＝√((+12)^2)=√((-12)^2)=±12
の様な間違いや、もっと複雑な計算の時に、あくまでも
算式上間違わずに計算できる矛盾のないルールが見出せ
ればと思います。

回答No.7

noname#24477

√（－１２）＾２＝－１２　がまちがい。
ルートは中の計算を先にする、という約束があります。
いったん中を計算したら消えてしまったマイナスは考えません。

もしも２乗が全体に（ルートの外に）ついているなら
（√（－１２））＾２＝－１２　でいいです。

お礼

ありがとうございました。

補足

x=-12として
√(x^2)=x=-12・・・(1)
の様に(1)をｘの関数として利用する場合
√の中を先に計算しても答えは－になります。
中学生が考えた場合、数式展開の何処に問題が有るか
教えてください。

回答No.6

siegmund

siegmund です．

> 平方根では無く√内の数式展開に矛盾が無いかをお伺いしております。
> √144＝√((+12)^2)=√((-12)^2)=±12
> の間違いを教えて頂きたいのですが。

あ，そういうことですか．

√144＝√((+12)^2)=√((-12)^2)
は正しいです．
最後に±12 としたところが間違いです．
√の約束は，
「２乗して√の中身(正数としておきます)になる数(２つある)のうち，
正のものをあらわす」
ですから
√((+12)^2) = 12
√((-12)^2) = 12
です．
つまり，a>0 のとき
√(a^2) = a > 0
ですが，b<0 のときは
√(b^2) = - b > 0
です．
両者をまとめて表したのが waseda2003 さんの
> √(a^2)=a は間違いで，正しくは√(a^2)=|a|です。
です．

お礼

ありがとうございました。

補足

ご回答で√の約束は，
　　「２乗して√の中身(正数としておきます)になる数
　　(２つある)のうち， 正のものをあらわす」
という事ですが、√に付いて中学３年の教科書では次の様
になっています。
　　aが正の数であるとき、aの２つの平方根のうち
　　正のほうを　√a　負の方を　-√a　と書く。
この記号√を根号といい、√aは「ルートa」と読む。
つまり
　　√の中身は２乗の結果として正であり、２乗する前の
　　符号を限定する約束はどこにも見当たりません。
ですからご回答の
　　√((-12)^2) = 12
は数式上も奇異であり、もう少し詳しく書けば
z=±12　として a=114=(z^2)＞0
ｚが＋の時
　　√a＝√(ｚ^2)＝z＝+12・・・(1) 　
ｚが－の時
　　√a＝√(ｚ^2)＝z＝－12・・・(2)
(1)、(2)より　√(ｚ^2)＝z　はzが±の時成り立つので
　 √a＝√(ｚ^2)＝z＝±12
補足すれば、(2)の√内はa>0であり、-12は√の中の２乗
する前の値であり２乗後は114>0です。

√の定義で、√の中の２乗する前の値が+のみとした
ご回答の√((-12)^2) = 12 は算式上
　　√((-12)^2) = 12・・・(3)
　　z=+12　として
　　√((-12)^2)=√((-ｚ)^2)=-z=-12・・・(4)
となり、(3)と(4)は算式上矛盾を起こします。
間違いを算術上矛盾なく説明できればと思います。

回答No.5

nubou

昼寝をしていてちょっと寝ぼけていたもので・・・

ａが０以上の実数のときにはｘ＾２－ａ＝０の根のうち正の実数のほうを√（ａ）とする
というイレギュラーな定義になっているようですね

とするとａがそれ以外の複素数のときにはどうするのかということになります
√（－１）をｉとするといってもそのｉは－ｉと区別できるのかということになります
この場合はｉの定義にまでさかのぼらないといけないでしょうね
√（ｉ）だともう（１＋ｉ）／√（２）と－（１＋ｉ）／√（２）を区別する合理的な手段はないといわざるを得ない
というわけで（複素関数論の立場から）合理的な定義は√（１）＝±１とすべきですね
しかし表現が煩雑になるので不合理だけど実用的な
√（１）＝１が採用されるようです

お礼

ありがとうございました。

補足

すみません・・・質問の意図は中学３年の教科書で疑問
に思ったもので、中学３年までの力量で
√144＝√((+12)^2)=√((-12)^2)=±12
の何処が間違いかを分かりやすく説明できればと思い
質問させて頂いております。

回答No.4

nubou

ａが０以上の実数のときにはｘ＾２－ａ＝０の根を√（ａ）とする
というイレギュラーな定義になっているようですね

とするとａがそれ以外の複素数のときにはどうするのかということになります
√（－１）をｉとするといってもそのｉは－ｉと区別できるのかということになります
この場合はｉの定義にまでさかのぼらないといけないでしょうね
√（ｉ）だともう（１＋ｉ）／√（２）と－（１＋ｉ）／√（２）を区別する合理的な手段はないといわざるを得ない
というわけで（複素関数論の立場から）合理的な定義は√（１）＝±１とすべきですね
しかし表現が煩雑になるので不合理だけど実用的な
√（１）＝１が採用されるのであります

お礼

ありがとうございました。

補足

√（１）＝１・・・なぜかをお伺いしたいのですが。
√（１）＝√((+1)^2)=√((-1)^2)=±1
と中学生が考えた場合、数式展開の何処に問題が有るか
教えてください。

回答No.3

waseda2003

記号 √ は，正の平方根を表すと定めたものです。
ですから，もちろん √144≠-12 です。
また，負の数や虚数に対して√という記号を用いることはできません。

そもそも，記号√は２つの平方根のうち正の方だけを指し示したいという要請から生まれたものと思われますので，x^2=aを満たすxを√aで表すというのであれば，記号の存在意義を失います。

あと，√(a^2)=a は間違いで，正しくは√(a^2)=|a|です。

お礼

ありがとうございました。

補足

記号 √ は，正の平方根を表すと定めたものですので
144の平方根は±√144であり、当質問もその内+√144を
問題にしていますが、"だから√144≠-12"に付いては飛躍
が有り、なぜそうなるかを数式で説明できないかをお伺い
しております。
また、√144＝√((+12)^2)=√((-12)^2)の√内はプラス
ですので虚数では有りません。
単純に数式展開の矛盾がないか、以下の
√144＝√((+12)^2)=√((-12)^2)=±12
の間違いを教えて頂きたいのですが。