積分の方法を教えてください!

質問

電磁気学の解答で

∫[{(x^2+A^2)^1/2}/x]dx = (x^2+A^2)^1/2-Aln[{A+(x^2+A^2)^1/2}/x]

となっていたのですが、これは暗記した方がよいのでしょうか。置換して解こうとしたのですが、自分では解決できなかったので投稿させていただきました。
数式が非常に見づらくて申し訳ないです。
数式を打つのは面倒だと思うので言葉でも構いません。回答よろしくお願い致します。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

オーソドックスに、x=Atant　と置けば、

∫[{(x^2+A^2)^1/2}/x]dx
=A∫1/(sintcos^2t)dt
=A∫sint/((1-cos^2t)cos^2t)dt
=A∫{sint/cos^2t+(1/2)sint/(1+cost)+(1/2)sint/(1-cost)}dt
=A{1/cost-(1/2)log(1+cost)+(1/2)log(1-cost)}

cost=A/√(A^2+x^2)　を戻してやって、

=A{√(A^2+x^2)/A-(1/2)log(1+A/√(A^2+x^2))+(1/2)log(1-A/√(A^2+x^2))}
=A{√(A^2+x^2)/A-(1/2)log((√(A^2+x^2)+A)^2/x^2)}
=√(A^2+x^2)-Alog((√(A^2+x^2)+A)/x)

お礼

自分にとって一番やりやすかったのでベストアンサーにさせていただきました。ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

y = √(xx+AA) で置換
する小技も覚えておいて損はないと思う。
この置換だけで処理できる √ も結構ある。

お礼

この置換のやり方は見たことなかったのでとても参考になりました。使いこなせるように演習して慣れたいと思います。

回答No.2

Mr_Holland

ANo.1です。
　誤記を訂正します。
(正)∫1/sinh(t)^2 dt=-coth(t)
＞　∫1/sinh(t)^2 dt=coth(t)

回答No.1

Mr_Holland

A/x=sinh(t)と置換してはどうでしょうか。
　dx=-a・cosh(t)/sinh(t)^2 dt となりますので、cosh(t)^2-sinh(t)^2=1、∫1/sinh(t)^2 dt=coth(t) であることを利用すれば求められます。
　被積分関数は　√{1+(A/x)^2} と変形しておいてください。

　暗記できるならそれもいいでしょうが、置換積分で求められますのでそこまでしなくてもと思います。

お礼

早い回答ありがとうございます。わざわざ訂正もしていただいて。。。

とても参考になりましたが、自分が一番やりやすかったものをベストアンサーにさせていただきました。