すべての馬は同色である。

質問

不思議な数学の問題を宿題に出されました。形式論理の落とし穴を習ったのですが…。バカみたいな質問でごめんなさい。教えてほしいです。

「すべての馬は同色である」ことを数学的帰納法によって証明します。

［定理］任意のｎについて、ｎ頭の馬は同色である。
［証明］
ｎ＝１のとき、定理が正しいことは明らか。
ｋ頭の馬は同色であると仮定して、ｋ＋１頭の馬が同色であることを言う。
いまｋ頭の馬に番号１からｋをつける。
すると仮定によりこれらｋ頭の馬は同色である。
ここで１番の馬を外し、別の馬を連れてきてｋ＋１番とすると、番号２からｋ＋１のｋ頭の馬も仮定により同色である。
よってこのｋ＋１頭の馬はすべて同色である。

実際にはそんなことはあり得ません。上の証明のどこが誤りですか？？教えてください。

回答No.4

Goody-goody · ベストアンサー

帰納法の場合、勝手に仮定するのは間違いではありません。
(1)ｋ頭の馬は同色であると仮定
するのは全然問題がなく、このときに次の馬が同色なら、
(2)ｋ＋１頭の馬が同色
ということが言え、ｎ＝１で正しいことから、２,３,４・・・でも正しいことがいえます。

ここで間違っているのは、「１番の馬を外し、別の馬を連れてきてｋ＋１番とすると、番号２からｋ＋１のｋ頭の馬も仮定により同色である。」の部分です。
別の馬を連れてきても、あくまで仮定から言えるのは、「今までいた馬たち（馬番号１～ｋ）」が同色なのであって、１番の馬を外した場合、「馬番号２からｋ」 は同色ですが、ｋ＋１が同色とはどこにも決められていません。

「ｋ頭の馬は同色」という仮定の部分があいまいな日本語ですが、数学的帰納法を使う場合は、「馬番号１～ｋが同色である」と仮定することになります。
決して「馬がｋ頭いたら必ず同色である」と仮定しているわけではないので注意が必要です。
あくまで、馬１、馬２・・・馬ｋ、が同色だったとき、もう１頭連れてきたときに、この１頭が同色ということが保証されれば、次の１頭を連れてきたときも必ず同色で・・・となり、ｎ＝１で成り立てば、全ての馬は同色が言えるわけです。
「もう１頭連れてきたときに、この１頭が同色ということが保証され」ないわけで、この定理は成り立ちません。

ここらへんがややこしいところですかね。。。

お礼

とてもわかりやすい回答をありがとうございます。
ややこしい文章にごまかされて見落としてしまうんですよね…。
助かりました。ありがとうございました。

回答No.3

sokamone

「ｋ頭の馬は同色であると仮定して、ｋ＋１頭の馬が同色である」
は、ｋ＝１のとき成り立たないからじゃないですか？

＞別の馬を連れてきてｋ＋１番とすると、
＞番号２からｋ＋１のｋ頭の馬も仮定により同色である。
をやっていいのは、ｋが２以上のときです。

この定理がもしｎ＝２のときに成り立つことが
保証されてるなら、すべての自然数ｎについて定理が成立しますが。

定理　どの２頭の馬もすべて同色なら、任意の頭数の馬も同色である。

というふうな定理だと成り立ちます。そもそも数学では、ｎ個のものが同じ色だというのは、(重複も考えて）どの２個も同じ色だということとして定義します。漠然と「同じ」という言葉を使っているところも問題だと思いますが。

抽象的にみると、状況は、

自然数Nに関する命題Ｐ(Ｎ)がある。
Ｐ(1)は真である。
Ｐ(２)は偽である。
Ｋ＞＝２について、「Ｐ(Ｋ)真ならば、Ｐ(Ｋ＋１）真である。」は成り立つ。

となっているだけです。

これでよろしいでしょうか？

回答No.2

arukamun

ｎ＝２の時に既に明らかではないですね。

すべての馬は馬色である。
ｎ＝１の時は明白。
ｋ頭の馬は馬色で同色であるとすると、ｋ＋１頭の馬も馬色で同色。
よって、数学的帰納法よりすべての馬は馬色で同色である。

というのはどうでしょうか。

回答No.1

noname#4923

>ｋ頭の馬は同色であると仮定して、

ここがそもそも間違ってますね。