数学的帰納法？

質問

すべての馬は同じ色をしている。
この事実は、与えられた集合の馬の数に関する帰納法で証明することが出来る。
＜証明＞
もしも馬が１頭しかいなかった場合、それは自分自身と同色である。したがって帰納法の基底は自明である。
帰納段階に関しては、全部でｎ頭の馬がいるとして、それに番号１からｎをつけておく。
帰納法の仮定によって番号１からｎ－１の馬は同色であり、同様に番号２からｎの馬も同色である。しかしここで、２からｎ－１の中間の番号の馬は、この議論の途中でその色を変えることはできない。なぜなら、馬はカメレオンではないからである。そたｋがって、１とｎまでの馬も同色でなければならない。こうしてｎ頭の馬すべてが同色であることを証明できた。

↑誤りがあるらしいのですが、発見できません。というか問題の意味がよくわかりません。。。何かヒントでもかまわないので、いただけないでしょうか？

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

よくある問題の変形版ですね

まず，一匹の馬がいて一匹しかいないから同じ色
これはまあ問題ないでしょう

n=2のケースを考えます
馬A，馬Bがいます．
帰納法の仮定はこの場合
「一匹の馬は必ず同じ色」です．
したがって，馬Aは一匹なので同じ色
馬Bについても同様です
けど，どうして馬Aと馬Bが同じ色だといえますか？

＞帰納法の仮定によって
＞番号１からｎ－１の馬は同色であり、
＞同様に番号２からｎの馬も同色である。
＞しかしここで、２からｎ－１の中間の番号の馬は、
＞この議論の途中でその色を変えることはできない。

これにn=2をいれてみてください
番号1から1の馬は同じ色であり
同様に番号2から2の馬は同じ色である
中間の馬，いますか？

ということで，実はこの帰納法は
n=1が最初ではなくって，
n=2が最初になるべきものなんです．
そして，n=2のときの命題
「二匹の馬は必ず同じ色である」は成り立ちません

ちょっと違いますが，同種の問題に
「世界中の砂粒はお猪口に入れられる」
という類のものがあります．

お猪口には砂粒が一粒入る
n粒の砂粒が入ると仮定する
一粒の砂粒が入るならばもう一粒は入る
したがって，n+1粒入る
数学的帰納法より
すべての砂粒が入る

となります(^^;;

回答No.2

ryn

回答はでているようなのでお遊びです．

頭に毛が1本しかない人はハゲである．
ハゲの人に毛を1本足してもハゲである．
したがって，何本毛があってもハゲなので
全ての人はハゲである．