数学的帰納法について（再度）

質問

前回の数学的帰納法についての質問に対して、８つの回答をもらって、理解できているつもりでしたが、再度質問をします。

任意のｋについて［ｎ＝ｋが成立　ならば　ｎ＝ｋ＋１で成立］を
あるｋについて［ｎ＝ｋが成立　ならば　ｎ＝ｋ＋１で成立］と　任意をあるに変えても、すべての自然数について成り立つように思うがどうでしょうか。
　ただし、ｎ＝１で成立することは、前提として。

回答No.6

Tacosan · ベストアンサー

「ある k について～」としかいっていないのであれば, 「（＊）より、Ｋ＝２のとき成り立つ。これがいえる」というのは間違いです.
#2 をじっくり読んでくれればわかると思うんだけど, k=5 のときに限って「ｎ＝ｋが成立　ならば　ｎ＝ｋ＋１で成立」であっても「ある k について～」は成り立ちます. でも, k=2 のときには成り立っていません.
こんな例も作れます: 「自然数 n に対して 1 から n までの自然数の総和 S(n) は f(n) = 2^n - (2n^3-9n^2+13n)/6 であるか」に対して, 命題「f(k) = S(k) ならば f(k+1) = S(k+1)」は k=5 を除いて成り立ちます. ですから, 「ある k に対して『f(k) = S(k) ならば f(k+1) = S(k+1)』」は成り立ちます. じゃあ, すべての n に対して f(n) = S(n) かっていうと, そうじゃないよね.

回答No.7

settheory

>あるＫについて「ｎ＝ｋが成立　ならば　ｎ＝ｋ＋１で成立」（＊）が言えたとして、Ｋ＝１のときは、計算して成り立つことが確認されていたとすれば、（＊）より、Ｋ＝２のとき成り立つ

P(n) という命題と、「P(n) ⇒ P(n+1)」という命題を混同しているのではないでしょうか。上の引用で、P(1)が成立するので、P(1)⇒P(2)も成立して、その二つを合わせてP(2)が出る、といったような推論をしたのでしょうか？

もしくは、ご自身が気づいてるように、「あるｋ」というのを、あまり意識せず任意の意味で捉えているのでしょうか。数学では通常、「ある」は「～が存在する」という、existの意味で使います。一方で、「ある任意の」といった言い回しもあり、任意、 for any のニュアンスをもっていることもあります。ただ、この言い回しは誤解を招きやすく、「ある」の部分をつける必然性はないように思います。
数学をやる時は、普段の会話では使わないような言葉でやった方が混乱が少ないかもしれません。

冒頭の、P(n) という命題と、「P(n) ⇒ P(n+1)」という命題の違いについて。
真理値を知っているのであれば、P(n)が偽のときを考えると良いでしょう。このときは、「P(n) ⇒ P(n+1)」は真になります。（「ならば」の命題で仮定が偽の時は、真にするという決まりがあります。）
具体例として、n<n　という命題を挙げてみます。この命題はどのnについても不成立ですが、「n<n ならば　n+1<n+1」は常に真です。

「P ⇒ Q」が真というのは、集合の包含関係でいうと、P⊆Qに対応してます。つまり、Qの方がPに比べて広い概念、成立しやすい命題であるということです。ある種の大小関係のようなものです。
某有名RPGで例えを出しますと、「レベルが９９　⇒　スライムを一撃で倒せる」という命題を考えます。この「ならば」命題は真とみなせるでしょう。レベルを９９にするには大変な労力がいりますが、スライムを一撃で倒せるようにするには、それほど困難な話ではありません。
こういったことを厳密に考えたものが　「P ⇒ Q」です。どちらの条件がより強いのか、弱いのかを扱う命題ともいえます。

回答No.5

waiwai_21

「n=kで成立⇒n=k+1で成立」
が任意の自然数kで成り立つというのは、
kにどんな自然数を入れても上の関係が成り立つということ。
よって
「n=1で成立⇒n=2で成立」
「n=2で成立⇒n=3で成立」
「n=3で成立⇒n=4で成立」
　　　・・・(以下略)
これらはすべて成り立ちます。
ゆえにn=1で成立することさえ言えれば、
すべてのnについて成立することがいえます。

一方、ある自然数kで成り立つというのは、
少なくともひとつは上の関係が成り立つ自然数kがあるけど、
全部の自然数について成り立つかどうかわからないということ。
例えば、
「n=1で成立⇒n=2で成立」
「n=2で成立⇒n=3で成立」
は成り立つが他は成り立たない、
といった場合も考えられるわけです。
この場合、n=1が成立することが言えれば、n=3までは
成立しますが、それ以降のnについてはなにもいえません。
よってこれだけではすべのnについて成立するかどうかはいえません。

回答No.4

noname#101087

>任意のｋについて［ｎ＝ｋが成立　ならば　ｎ＝ｋ＋１で成立］を あるｋについて［ｎ＝ｋが成立　ならば　ｎ＝ｋ＋１で成立］と　任意をあるに変えても、すべての自然数について成り立つように思うがどうでしょうか。　ただし、ｎ＝１で成立することは、前提として。

つまり、
　命題 P(n) について、
　　・P(1) が成立つ。
　　・「ある」k が存在して、命題 P(k) が成立つ。
　　・命題 P(k) が成立てば、命題 P(k+1) も成立つ。
　ならば、すべての自然数について成り立つ。
…という推論は正しいか？

ということみたいですね。

単純に考えると、k > 2 の場合、1 と k の間の自然数については、命題 P(n) の真偽が不明なのでは？

回答No.3

R_Earl

> 任意をあるに変えても、すべての自然数について成り立つように思うがどうでしょうか。

基本的に駄目です。
例えば
「全ての自然数に対し、自然数1 ～ nの和は(1/2)n(n + 1)であることを証明せよ」
という問題を例に挙げます。
質問者さんの提案した方法に沿うと、以下のような証明文を書くことができます。
この証明文は正しいでしょうか？

[証明]
命題「自然数1 ～ nの和は(1/2)n(n + 1)である」を命題Aとおく

(1) n = 1の時、命題Aが成立することを示す。
自然数1 ～ 1の和は1
(1/2)n(n + 1) = 1
よってn = 1の時、命題Aは正しい

(2) あるkについて、[ n = kで命題Aが成立するならば、n = k + 1でも命題Aが成立 ]することをを示す。

n = 3の時、
自然数1 ～ 3の和は6
(1/2)n(n + 1) = 6

n = 4の時、
自然数1 ～ 4の和は10
(1/2)n(n + 1) = 10

よって
あるkについて、[ n = kで命題Aが成立するならば、n = k + 1でも命題Aが成立 ]する

(3)
(1), (2)より命題「全ての自然数に対し、自然数1 ～ nの和は(1/2)n(n + 1)である」は正しい
[証明終わり]

上記の証明文の(1) ～ (2)のステップは正しい証明文になってます
(ちゃんと(2)のステップは「あるｋについて［ｎ＝ｋが成立　ならば　ｎ＝ｋ＋１で成立］」を示してますよね)。
ただ、(1)と(2)が正しいとしても(3)が成り立たないだけです。

質問者さんの提案方法では
「正しい証明文」を書くことも可能ですが、
上記のような「正しくない証明文」を書くことも可能です。
なので駄目です。

ちなみに質問者さんの提案方法を用いた「正しい証明文」は以下のようになります。

[証明]
命題「自然数1 ～ nの和は(1/2)n(n + 1)である」を命題Aとおく

(1) n = 1の時、命題Aが成立することを示す。
自然数1 ～ 1の和は1
(1/2)n(n + 1) = 1
よってn = 1の時、命題Aは正しい

(2) あるkについて、[ n = kで命題Aが成立するならば、n = k + 1でも命題Aが成立 ]することをを示す。

1 ～ kの自然数の和は(1/2)k(k + 1)。
よって1 ～ (k + 1)の自然数の和は(1/2)k(k + 1) + (k + 1) = (1/2)(k + 1)(k + 2)
よって
あるkについて、[ n = kで命題Aが成立するならば、n = k + 1でも命題Aが成立 ]する

(3)
(2)は特定のkの値に依らず、成立する。

(4)
(1), (2), (3)より命題「全ての自然数に対し、自然数1 ～ nの和は(1/2)n(n + 1)である」は正しい
[証明終わり]

回答No.2

Tacosan

「前回」というのは
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5423801.html
のことですね.
端的に結論を言うとだめです. 全然意味が違います.
例えば, k = 5 のときに限って「ｎ＝ｋが成立　ならば　ｎ＝ｋ＋１で成立」という命題が成り立つと仮定しましょう. この場合, 「ある k について～」は成り立ちますが「任意の k について～」は成り立ちません. 従って数学的帰納法を適用することはできません.

補足

ひとつ理解できたとおもって、また考えると、別の疑問がでてくる。結局、しっかりと理解できていないということなのだと思います。
あるＫについて「ｎ＝ｋが成立　ならば　ｎ＝ｋ＋１で成立」（＊）が言えたとして、Ｋ＝１のときは、計算して成り立つことが確認されていたとすれば、（＊）より、Ｋ＝２のとき成り立つ。これがいえると思うが、そして、Ｋ＝２のとき成立しているから、ｋ＋１、つまり、Ｋ＝３のときも成立。・・・そうすると、すべての自然数について成り立つといえるのか、と考えてしまいました。これは、あるＫでなくて、任意のＫということでしょうか。これが、任意ということの理解が私自身あまりできていないのだと思います。

回答No.1

f272

(A)ｎ＝１で成立すること
(B)あるｋについて［ｎ＝ｋが成立　ならば　ｎ＝ｋ＋１で成立］
の2つが証明できているとして，なにが分かるの？
n=2のときに成立するかどうかすら一般には分からないよね。(B)で言ってるkが1とは限らないから(A)と(B)のあわせ技に持ち込めないし...

補足

ｎ＝１が成立している。そして（Ｂ）が成立しているから、あるＫを１とするとＫ＋１、つまり、２のときも成り立つ。
　と考えたのですか。・・・・
そして、２のとき成り立つことがわかるので、あるＫが２とすると、Ｋ＋１が３のとき成立。
　これって、Ｋが任意ということになるのでしょうね。（自問自答）