数学的帰納法で

質問

お世話になっております。些細な事なのですが、数学的帰納法からの質問です。

ある参考書に、数学的帰納法で証明する第2段階目の記述で、「k≧1」がありました。これは意味的には「kは1以上の実数」という事になると思うのですが、実際数学的帰納法では、kは「任意の自然数」を指していると解釈しているのですが、教科書の例では特に用いるkに対してその範囲を明示していないようです。この場合kは任意の自然数と但書きすべきか、先述のようにk≧1で良いのか、記述についてご存じの方いらっしゃいましたらお教え下さい。宜しくお願い致します。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
たいていの問題は、「任意の自然数」でも「k≧ 1（kは整数）」でも構わないと思います。

ただ、問題によっては「先頭」が 1でないときもあります。

簡単な例ですが、「n^2＜ 2nを満たす n」は n＝ 1だけになります。
これは、n≧ 2では n^2≧ 2nとなることを数学的帰納法で示すことで、
答えが n＝ 1しかないことを述べるができます。
（当然、解法はこれだけではありません。）

この場合の数学的帰納法の「先頭」は n＝ 2であり、
kについても k≧ 2で述べることになります。

数学的帰納法は「ドミノ倒し法」なので、
先頭がどこかをきちんと述べておかないといけません。
そこに注意することが大事だと思います。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6825990.html

お礼

ドミノ倒しの例！好まれて使われていますよね。真っ先に手で倒したら次のドミノが倒れる、またその次のドミノが倒れる、リフレイン……この「仕掛け」を理解するのに戸惑いましたが、お陰様で段々掴めてきてます。

いつも分かりやすい回答に感謝致します。

回答No.1

notnot

普通はkの属する集合は、問題に明示してあるはず。
数学的帰納法を使うと言うことでは、一般には自然数に限らず整数でいいと思います。k≧1なら自然数ですが。

お礼

同じ記号でも用途で意味が変わるという事ですか。
確かに教科書で真っ先に取り上げる数学的帰納法の例題にはkの範囲は明記されていないのです。暗黙の了解という事なのでしょうか…

何はともあれご回答ありがとうございました！