線形代数

質問

四面体ABCDに対しΔBCD,ΔCDA,ΔDAB,ΔABCの重心をそれぞれE,F,G,Hとおく。
(1)ＡＤの中点をＭとする重心の定義からＦ，Ｇはそれぞれ線分ＭＣ、ＭＢ上にある。したがって線分ＢＦと線分ＣＧは三角形ＭＢＣ内の一点で交わる。その交点をＩとおき、ベクトルMIをベクトルMB,ベクトルMCをもちいてあらわせ。
(2)ベクトルＡＩをベクトルＡＢ、ベクトルＡＣ，ベクトルＡＤを用いてあらわせ。
(3)４線分ＡＥ，ＢＦ，ＣＧ，ＤＨはすべてＩを通ることを示せ。
以上のことを教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

ベクトルABを単にABと表わします。

(1)
F,Gは重心なので、
CG=2/3CM+1/3CB、BF=2/3BM+1/3BC

BI=pBF、CI=qCG　とおくと、
MB+pBF=MC+qCG
MB+p(2/3BM+1/3BC)=MC+q(2/3CM+1/3CB)
BC=MC-MB　なので
MB+p(2/3BM+1/3(MC-MB))=MC+q(2/3CM-1/3(MC-MB))
整理すると、
(1-p-q/3)MB-(1-q-p/3)MC=0
よって、
p=q=3/4

以上より、
MI=MB+BI=MB+3/4(2/3BM+1/3(MC-MB))=1/4MB+1/4MC

(2)
AI=AM+MI=-MA+1/4MB+1/4MC

(3)
AE=AD+1/3DB+1/3DC
　=2AM+1/3(DM+MB)+1/3(DM+MC)
　=-2MA+1/3(MA+MB)+1/3(MA+MC)
　=-4/3MA+1/3MB+1/3MC
AI=3/4AE　なので線分AEはIを通る。
DHも同様

お礼

大変参考になりました。
本当に助かりました。ありがとうございました。