平面上に四角形ABCDがあって、

質問

平面上に四角形ABCDがあって、どの頂点も、残りの頂点の作る三角形の外部にある。△BCDの重心をA1、△CDAの重心をB１、△DABの重心をC1、△ABCの重心をD1とする。
（１）線分AA1、BB1、CC1、DD1は１点Pを共有することを示せ。
（２）（１）において、点Pは各線分をどのような比に分けるか。

回答No.5

englishquestion

では私は初等幾何で。

（１）
ACの中点をM,BDの中点をNとします。

重心の性質から、
△BCDの中線NCをその重心A1は1:2に内分し、
△CDAの中線MDをその重心B1は1:2に内分し、
△DABの中線NAをその重心C1は1:2に内分し、
△ABCの中線MBをその重心D1は1:2に内分します。

△NACを考えると、
(AM/MC) ・ (CA1/A1N) ・ (NC1/C1A)
= (1/1)・(2/1)・(1/2)
= 1
となるので、チェバの定理の逆により、
AA1、CC1、MNは一点で交わります。

その交点をQとします。

次にMQ：QN を求めます。
△ACQ：△ANQ = CA1：A1N = 2：1
△ACQ：△CNQ = AC1：C1N = 2：1
なので、
MQ：QN
=△ACQ：△ANQ＋△CNQ
=2：1+1
=1:1 となります。
つまり、QはMNの中点です。

△MBDを考えると、
(BN/ND) ・ (DB1/B1M) ・ (MD1/D1B)
= (1/1)・(2/1)・(1/2)
= 1
となるので、チェバの定理の逆により、
BB1、DD1、MNは一点で交わります。

その交点をRとします。

次にMR：RN を求めます。
△BDR：△BMR = DB1：B1M = 2：1
△BDR：△DMR = BD1：D1M = 2：1
なので、
MR：RN
=△BMR＋△DMR：△BDR
=1+1：2
=1:1 となります。
つまり、RはMNの中点です。

よって、QもRもMNの中点なので両者は一致し、
これを改めてPとすれば、
もともと、QはAA1、CC1の交点であり、
RはBB1、DD1の交点であるから、
結局、線分AA1、BB1、CC1、DD1は
この点Pを共有することがわかる。

（２）
AP：PA1
= △APC＋△APN：△CPN
= 2+1 ： 1
= 3 ： 1
以下同様にして、AA1、BB1、CC1、DD1をPは3:1に内分する。

回答No.4

shuu_01

No.1 です。No.3 さんと答えが違うので、
もう１度 計算すると単純な計算ミスをしており、訂正します：

頂点 A、B、C、D の位置ベクトルを各々 ベクトルa、ベクトルb、ベクトルc、ベクトルd とおきます

△CBD の重心 A’は （ベクトルb ＋ ベクトルc ＋ ベクトルd）/3、
同様に
Ｂ’ は （ベクトルc ＋ ベクトルd ＋ ベクトルa）/3
Ｃ’ は （ベクトルd ＋ ベクトルa ＋ ベクトルb）/3
Ｄ’ は （ベクトルa ＋ ベクトルb ＋ ベクトルc）/3
となります

ＡＡ’を通る直線は
ベクトルa ＋ p {（ベクトルb ＋ ベクトルc ＋ ベクトルd）/3 ー ベクトルa}
＝{（1ーp）ベクトルa ＋ p（ベクトルb ＋ ベクトルc ＋ ベクトルd）}

ＢＢ’を通る直線も
ベクトルb ＋ q {（ベクトルc ＋ ベクトルd ＋ ベクトルa）/3 ー ベクトルb}
＝{（1ーq）ベクトルb ＋ q（ベクトルc ＋ ベクトルd ＋ ベクトルe）}

で表せ、その交点は 係数を比較し、
3ー3p ＝ q、p ＝ q より、p ＝ q ＝ 3/4

ＡＡ’ と ＢＢ’の交点は
（ベクトルa ＋ ベクトルb ＋ ベクトルc ＋ ベクトルd）/4

ＢＢ’ と ＣＣ’、ＣＣ’と ＤＤ’ の交点も同様に
（ベクトルa ＋ ベクトルb ＋ ベクトルc ＋ ベクトルd）/4
となりますので、１点 Ｐ を共有します　←　（１）の答え
p ＝ q ＝ 3/4 ですので
点 Ｐ は ＡＡ’、ＢＢ’、ＣＣ’、ＤＤ’を ３：１に分けます
　　　↑
（２）の答え

回答No.3

staratras

複素平面で考えるとわかりやすいと思います。

四角形ABCDの4頂点A,B,C,Dをそれぞれ複素数Za,Zb,Zc,Zdで表し、
△BCDの重心A1、△CDAの重心B1、△DABの重心C1、△ABCの重心D1を
それぞれ複素数Za1,Zb1,Zc1.Zd1で表すものとします。
Za1=(Zb+Zc+zd)/3 、Zb1=(Zc+Zd+Za)/3、Zc1=(Zd+Za+Zb)/3、Zd1=(Za+zb+Zc)/3 です。

このとき線分AA1上にあり、APa:PaA1=t:(1-t) ただし0<t<1 となるような内分点Paを考え、
これを複素数ZPaであらわすことにすると
ZPa=(1-t)Za+tZa1=(1-t)Za+t(Zb+Zc+Zd)/3 …(1)

同様に線分BB1上にあり、BPb:PbB1=t:(1-t) ただし0<t<1 となるような内分点Pb,
線分CC1上にあり、CPc:PcC1=t:(1-t) ただし0<t<1 となるような内分点Pc
線分DD1上にあり、DPd:PdD1=t:(1-t) ただし0<t<1 となるような内分点Pd を考えて
それぞれ複素数ZPb,ZPc.ZPdで表すと

ZPb=(1-t)Zb+tZb1=(1-t)Zb+t(Zc+Zd+Zd)/3 …(2)
ZPc=(1-t)Zc+tZc1=(1-t)Zc+t(Zd+Za+Zb)/3 …(3)
ZPd=(1-t)Zd+tZd1=(1-t)Zd+t(Za+Zb+Zc)/3 …(4)

ここで、1-t=t/3 を解くとt=3/4 だから、t=3/4 を(1)(2)(3)(4)に代入すると
ZPa=ZPb=ZPc=ZPd=(Za+Zb+Zc+Zd)/4 となり、4点Pa,Pb,Pc,Pdはすべて一致します。
したがってこの点をPとしますと、
線分AA1,BB1,CC1,DD1は一点Pを共有することになります。

またAP:PA1=BP:PB1=CP:PC1=DP:PD1=3:1 (←3/4:1/4)です。

回答No.2

shuu_01

点Ｐ の位置ベクトルは

（ベクトルa ＋ ベクトルb ＋ ベクトルc ＋ ベクトルd）/6

です。最初の カッコが抜けてました。ごめんなさい

回答No.1

shuu_01

頂点 A、B、C、D の位置ベクトルを各々 ベクトルa、ベクトルb、ベクトルc、ベクトルd とおきます

△CBD の重心 A’は （ベクトルb ＋ ベクトルc ＋ ベクトルd）/3、
同様に
Ｂ’ は （ベクトルc ＋ ベクトルd ＋ ベクトルa）/3
Ｃ’ は （ベクトルd ＋ ベクトルa ＋ ベクトルb）/3
Ｄ’ は （ベクトルa ＋ ベクトルb ＋ ベクトルc）/3
となります

ＡＡ’を通る直線は
ベクトルa ＋ p {（ベクトルb ＋ ベクトルc ＋ ベクトルd）/3 ー ベクトルa}
＝{（1ーp）ベクトルa ＋ p（ベクトルb ＋ ベクトルc ＋ ベクトルd）}

ＢＢ’を通る直線も
ベクトルb ＋ q {（ベクトルc ＋ ベクトルd ＋ ベクトルa）/3 ー ベクトルb}
＝{（1ーq）ベクトルb ＋ q（ベクトルc ＋ ベクトルd ＋ ベクトルe）}

で表せ、その交点は 係数を比較し、
1ーp ＝ q、p ＝ q より、p ＝ q ＝ 1/2

ＡＡ’ と ＢＢ’の交点は
ベクトルa ＋ ベクトルb ＋ ベクトルc ＋ ベクトルd）/6 となります

ＢＢ’ と ＣＣ’、ＣＣ’と ＤＤ’ の交点も同様に
ベクトルa ＋ ベクトルb ＋ ベクトルc ＋ ベクトルd）/6 となりますので、
１点 Ｐ を共有します　←　（１）の答え
p ＝ q ＝ 1/2 ですので
点 Ｐ は ＡＡ’、ＢＢ’、ＣＣ’、ＤＤ’を １：１に分けます　←　（２）の答え