微分積分の問題です＾＾；

質問

手も足もでないのですが…
だれか助けてくれる方いらっしゃいませんか？＾＾；

自分では
（１）はまずはｆ（ｘ）をｘを用いて表すのだと思うのですが…それもちょっとできません＾＾；

だれか、よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

少々やっかいな問題ぞろいですね。

(1)条件の式は、次のとおりでいいですか？
∫[0→x] (x-t)* f(t)dt= x^3+ x^2
（横向きだと、xと tの見分けが… ＾＾；）

左辺をまず「ばらし」ましょう。
x*∫f(t) dt- ∫t* f(t) dt= x^3+ x^2
これを両辺 xで微分します。
すると、あっさりと f(x)が求まります。

(2)絶対値がやっかいですね。
ひとまず、積分は定数になるはずなので cとでも置きましょう。
|f(t)|≧0ですから、cについても c≧0となります。
整理すると
c= ∫[0→1] |t^3- 4ct| dt
cの値によって、絶対値つきの積分計算を考えないといけません。
ヒントとして、方程式 f(t)=0は t=0、±2√c（c≧0）を解とします。
2√cの値で場合分けすることになります。

(3)接線の方程式を y= ax+ b、接点の x座標をα、β（α≠β）とおきます。
「接する」とは、式の上では「重解をもつ」ということになります。
ということは
x^4- 2x^3- …-(ax+ b)= (x-α)^2 * (x-β)^2
になるということです。
あとは係数比較していきます。
最後の面積は、準公式があるので検索してみてください。

最後に、もっと手際のいい方法があるかもしれません。
ベタな方法ですいません。

お礼

お礼のところに質問してすみません＾＾；

＞(2)絶対値がやっかいですね。
ひとまず、積分は定数になるはずなので cとでも置きましょう。
|f(t)|≧0ですから、cについても c≧0となります。
整理すると
c= ∫[0→1] |t^3- 4ct| dt
cの値によって、絶対値つきの積分計算を考えないといけません。
ヒントとして、方程式 f(t)=0は t=0、±2√c（c≧0）を解とします。
2√cの値で場合分けすることになります。

のこれからの解き方についてなのですが、
これからf(x)を現そうとしたらf(x)をcも使われてしまいます。
どうすればいいのですか？

補足

本当にたすかります！

あの質問いいですか＾＾；？
バカですみません＾＾；

＞x*∫f(t) dt- ∫t* f(t) dt= x^3+ x^2
これを両辺 xで微分します。

の微分の仕方を忘れてしまいました＾＾；
よかったら
教えていただけませんか？＾＾；

回答No.4

naniwacchi

お礼で質問っていいのかどうだか… 笑

x^2の係数で場合分けですね。
「0<x<1に解をもつ」ということは、グラフで描くとどうなりますか？
i)（実数）解をもつこと
ii) 0<x<1で、y=f(x)のグラフが共有点をもつこと

ii)については、「交わる場合」と「接する場合」がありますね。
i)の条件をよく見ると、どちらかの場合になることがわかります。

こんな感じでどうでしょうか？

お礼

ありがとうございました＾＾

今日は本当に助かりました。
また機会があったらよろしくお願いいたします。

回答No.3

naniwacchi

(1)積分と微分の関係は、変数が多いので混乱しますね。

積分をばらした式
x*∫f(t) dt- ∫t* f(t) dt= x^3+ x^2
これを両辺 xで微分するのですが、

・左辺第1項は、「積の微分」を使います。
∫f(t) dtは xの関数になる（積分区間に xがあるので）ので、F(x)とでもすれば、
(左辺第1項)= x* F(x)の形に書けます。

・左辺第2項は、t* f(t)をひとつの関数とみなします。
∫t* f(t) dt= ∫g(t) dt
としてから、微分をすればよいです。

結果は「あらら？」という感じで出てくると思います。

お礼

ありがとうございました＾＾ｗ

あの…
あと1問あったのですが＾＾；いいですか？＾＾；

問題）方程式3(a-1)x^2+6x-a-2=0は0<x<1に解をもつことを示せ。

（自分の考え）
a=1のときはx=1/2となりＯＫ。
a≠1のとき…こっからどうやればいいのかが…わかりません＾＾；

回答No.2

naniwacchi

#1です。
方針が決まれば、(3)が一番素直にできてしまう問題かもしれませんね。

(1)積分と微分の関係を思い出しましょう。
d/dx（∫[0→x] g(t) dt）= g(x)
これにあてはめます。

(2)積分を cとおくと、f(t)= t^3- 4ctになりますね。
「積分を cとおいた」のですから、c= ∫|f(t)| dtですね。
この関係式から、cを定めることができます。

お礼

ありがとうございました！

補足

（２）はなんとかゴールしました＾＾
ありがとうございました！！

（１）が分からないです…
あの関係をうまく使いこなせません＾＾；