単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

質問

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P（1, -1, 2）における単位法線ベクトルnを求めよ．

という問題です．

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
　8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
　-8dx+4dy+12dz=0
　4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル：±(-2,1,3)
　|(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

回答No.1

noname#224896

かなり厳しいことを書いているかもしれません。
あなたの為を思って書いています。
他の質問を見るのではなく，
テキストに下記のような表現で記載があるはずです。
近頃では、各大学の研究室やWikipediaでも数学に触れる機会があります。
御自分で探して，単なる一時凌ぎではなく、本当に数学を理解して下さい。
本来，学問は楽しいものですので，自己解決出来る力を養って下さい。
数学の本質は，出題された問題を解くというものではありません。
応援していますので頑張って下さい。説教くさくてすみません。
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【定理】 スカラー場φ(x, y, z) の勾配であるgrad(φ) は，
等位面φ(x, y, z) = c（cは任意の定数） の法線方向を与える。
つまり，等位面φ(x, y, z) = c の単位法線ベクトルｎは，

　ｎ＝∇φ/｜∇φ｜（特に指定が無い場合は，ｎ＝±∇φ/｜∇φ｜）

で与えられる。
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上記を踏まえて，この質問では，φをfという文字で表していますので，
以下，それに置き換えて表現します。

>曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P（1, -1, 2）における単位法線ベクトルnを求めよ．
>という問題です．

>他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
>とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

気になったのですが，曲面 4x^2*y+z^3 = 4ですか？
それとも，曲面 4x^(2y)+z^3 = 4ですか？

全く関数が異なりますが，何れにしても解法は同じですので，
恐らく，
曲面 4x^(2y)+z^3 = 4
だろうということで，以下，記載します。

gradfという演算子はありませんので，
宿題若しくはテストでそのような表現を使用すると問題は解けても，
紛らわしく不正解になる可能性があります。注意してください。
上述の通り，正式な表現は，grad(ｆ)となります。（本当は，grad{f( x , y , z )}）

以下，定理の通り，単位法線ベクトルをｎ，ｎ＝∇f/｜∇f｜とする．単位法線ベクトルｎを求める．

∇ｆ＝grad(ｆ)より，先ず，点P（1, -1, 2）における法線ベクトルを求めます．

∇ｆ＝（∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z）f
　　＝（∂f/∂x , ∂f/∂y , ∂f/∂z）
　　＝{ (2y)*4x^(2y-1) , 4x^(2y)*log(4x) , 3z^2}
　　＝4{ -2 , 2log2 , 3 }　（∵f = 4x^2y+z^3-4）

次に，単位ベクトルを求める為，grad(f)の大きさを求めます．
｜∇f｜＝4*{ (-2)^2 + (2log2)^2 + 3^2}^(1/2)

曲面 4x^(2y) + z^3 = 4における，
点P（1, -1, 2）における単位法線ベクトルは１つだけではない為，
求めた逆ベクトルも含める．

∴ｎ＝±{(13 + 8log2)^(1/2)}*( -2 , 2log2 , 3 )

敢えて，検算はしていません。