高１の因数分解

質問

x^12＋x^9＋x^6＋x^3＋xの因数分解とx^10＋x^5＋xの因数分解が分かりません。分かる方は詳しく教えてもらえないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.8

1seventh · ベストアンサー

f(x): = x^12+x^9+x^6+x^3+1
= ((x^3)^5-1)/(x^3-1)
= (x^15-1)/(x^3-1)

g(x): = x^10+x^5+1
= ((x^5)^3-1)/(x^5-1)
= (x^15-1)/(x^5-1)

と考えてセットで解くといいのではと思います。

x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)
x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)

f(x)は x^4+x^3+x^2+x+1,
g(x)は x^2+x+1

をそれぞれ因数に持つはずです。

回答No.7

teturou78

x^12+x^9+x^6+x^3+1
=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)

こっちもやってみました。ホントに寝ます(^_^;)

回答No.6

teturou78

x^10+x^5+1
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)

２つめの()が因数分解できるかは確認してませんが、取り急ぎここまでで・・・。もう眠いので。

回答No.5

springside

最初の方の問題も、x^12＋x^9＋x^6＋x^3＋1だとして、かつ、指数が分数になってもよいのであれば、以下のようになりますね。

x^12＋x^9＋x^6＋x^3＋1
=(x^6+x^3+1)^2-x^9-2x^6-x^3　（※余分な項を引く）
=(x^6+x^3+1)^2-x^3(x^3+1)^2　（※後半部分を因数分解）
=(x^6+x^3+1)^2-{x^(3/2)(x^3+1)}^2　（※２乗－２乗の形にする）
={x^6+x^3+1+x^(3/2)(x^3+1)}{x^6+x^3+1-x^(3/2)(x^3+1)}
={x^6+x^(9/2)+x^3+x^(3/2)+1}{x^6-x^(9/2)+x^3-x^(3/2)+1}　（※式を整理）

補足

springsideさんの言うとおりx^12＋x^9＋x^6＋x^3＋1が正しいようです。（友達に確認しました）２問とも間違っていて本当にすみませんでした。

回答No.4

ONEONE

＃３ですが。

x^10＋x^5＋1（←ここ間違えた）
＝（x^5－ｘ^(5/2)＋1）（x^5＋ｘ^(5/2）＋1）
＝（x^5－ｘ^(5/2)＋1）｛（ｘ^(5/2)－ｘ^(5/4)＋１）（ｘ^(5/2)＋ｘ^(5/4)＋１）｝
＝（x^5－ｘ^(5/2）＋1）｛（ｘ^(5/2)－ｘ^(5/4)＋１）（ｘ^(5/2)＋ｘ^(5/4）＋１）｝｛（ｘ^(5/4)－ｘ^(5/8)＋１）（ｘ^(5/4)＋ｘ^(5/8)＋１）｝
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・
って無限に続いてしまうことに気付いた。これではだめでしょう。むー・・・

回答No.3

ONEONE

これ難しいですね！高1に出す問題か？って感じします。
その15年に2人のその2人はとてつもなくすごいのでしょう。

どうだろう、ちょっとずる。

x^10＋x^5＋x
＝x^5（x^5＋1）＋x^5＋1－ｘ^5
＝（x^5＋1）（x^5＋1）－{ｘ^(5/2）}^2
＝（x^5＋ｘ^(5/2）＋1）（x^5－ｘ^(5/2）＋1）

これで良いのか悪いのか。答えがわかったら補足やお礼の欄で答え教えてください！

補足

すみません。No.2のiceman2さんの補足のところで問題の訂正をしました。
正しくは「x^10＋x^5＋1」です。すみませんでした。

回答No.2

iceman2

x^3＝Xとすると
4X+3X+2X+X+x
9X+x
9x^3+x
こんな感じかな？
たぶん違うわごめん

補足

問題の訂正をします

誤）x^10＋x^5＋x　→　正）x^10＋x^5＋1

でした。すみませんでした。

回答No.1

fushigichan

oshin16886589さん、こんにちは。
問題はこれで合っていますでしょうか？
このままだと、最低次数のxでくくることしか出来ないように思います。

x^12＋x^9＋x^6＋x^3＋x=x(x^11+x^8+x^5+x^2+1)

x^10＋x^5＋x=x(x^9+x^4+1)

でもきっともっと難しい問題だと思うので、出来れば補足お願いします。

補足

問題は間違いないようです。あと「高1の因数分解」と書いておりますが、これはただ僕が高1なだけで、先生は「塾や中学校の先生に聞いてもいいから解いてきなさい。」と言っているので、相当難しい問題なのだとおもいます。ちなみにその先生は「教師生活を15年やっててこの問題を自力で解いたやつは２人しかいない」と言っているんです・・・