無理数の計算

質問

｛(3+√5)^n｝＋｛(3-√5)^n｝（n=1,2,3…）は整数になりますが、いつでも2^nでわりきれます。このことを証明できるでしょうか？整数になることはm√5の項がすべて０になることでわかるのですが、なぜ2^n
で割り切れるのかわかりませんでした。よい方法をご教授ください。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

#1 では α, β として式中にある 3±√5 ではなく, わざと (3±√5)/2 を使っていることに注意してください.
つまり (3+√5)^n + (3-√5)^n = (2α)^n + (2β)^n = 2^n (α^n + β^n) が成り立ちますから, α^n + β^n がすべての n に対して整数であることが証明できれば (3+√5)^n + (3-√5)^n は 2^n の倍数であることがいえます. そして「α^n + β^n がすべての n に対して整数である」ことは帰納法で証明できます.
もちろんあなたがやったみたいに 3±√5 をそのまま使ってもよく, その場合には「α^n + β^n が 2^n の倍数である」ことを帰納法で証明すれば OK.

回答No.1

Tacosan

α=(3+√5)/2, β=(3-√5)/2 に対して α+β と αβ を求める.
あと, α^n+β^n をこれらと α^(n-1)+β^(n-1), α^(n-2)+β^(n-2) で表す.

補足

すいません。あらわしてみましたが
α^n+β^n=6{α^(n-1)+β^(n-1)}-4{α^(n-2)+β^(n-2)}から
どのようにして2^nで割り切れることがわかるのでしょう？